1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì),山東經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院 李秀紅,Probability Theory and Mathematical Statistics,目 錄,Ch1隨機(jī)事件及其概率 Ch2隨機(jī)變量及其分布Ch3多維隨機(jī)變量及其分布Ch4隨機(jī)變量的數(shù)字特征Ch5極限定理Ch6數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念Ch7參數(shù)估計(jì)Ch8假設(shè)檢驗(yàn)Ch9回歸分析,,課程介紹,第一章 隨機(jī)事件及其概率,引 言,確

2、定性現(xiàn)象：在一定條件下一定會(huì)發(fā)生或一定不會(huì)發(fā)生 的現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象,例 1 (1)太陽(yáng)從東方升起 (2)邊長(zhǎng)為a的正方形的面積為a2 (3)一袋中有10個(gè)白球，今從中任取一球?yàn)榘浊?（1)（2)（3）為確定性現(xiàn)象,隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的現(xiàn)象,例

3、2 (4)擲一枚硬幣，正面向上 (5)擲一枚骰子，向上的點(diǎn)數(shù)為2 (6)一袋中有5個(gè)白球3個(gè)黑球，今從中任取一球?yàn)榘浊颍?）（5）（6）為隨機(jī)現(xiàn)象,參考書(shū)：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》人大版 《概率統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)指導(dǎo)》山經(jīng)數(shù)學(xué)教研室 編,學(xué)習(xí)基礎(chǔ)方法：1 排列組合 2 微積分,概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)：研究和揭

4、示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科,§1 隨 機(jī) 事 件,1.1 隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間,試驗(yàn)：為了研究隨機(jī)現(xiàn)象，對(duì)客觀事物進(jìn)行觀察的過(guò)程,1. 隨機(jī)試驗(yàn),隨機(jī)試驗(yàn)：具有以下特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)，用E表示： （1）在相同的條件下可以重復(fù)進(jìn)行；（可重復(fù)性） （2）每次試驗(yàn)的結(jié)果不止一個(gè)，并且在試驗(yàn)之前可以明確 試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；（結(jié)果的非單一性） （3）在每次試驗(yàn)之前

5、不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)那一 種結(jié)果。（隨機(jī)性）注意：今后所說(shuō)的試驗(yàn) 均指隨機(jī)試驗(yàn),E1：拋一枚硬幣，觀察正面、反面出現(xiàn)的情況。 E2：將一枚硬幣拋擲三次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù)。 E3：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。,在下面給出的試驗(yàn)中，討論試驗(yàn)的結(jié)果。,E4：記錄尋呼臺(tái)一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。 E5：在一批燈泡中任意抽取一只，測(cè)試它的壽命。 E6：在區(qū)間[0,1]上任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)。,

6、2. 樣本空間,例:擲硬幣——?1={正面，反面} 擲骰子——?3={1,2,3,4,5,6},某燈泡的壽命：,Ω5 = {t ：t ≥0｝,由以上例子可見(jiàn),樣本空間的結(jié)構(gòu)隨著試驗(yàn)的要求不同而有所不同，樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的.,1. 2 隨機(jī)事件,記為ω。,樣本點(diǎn)ω,隨機(jī)事件：試驗(yàn)E所對(duì)應(yīng)的樣本空間Ω的子集稱為E的隨機(jī)事件，稱事件，通常用大寫(xiě)字母A,B,C等表示。,試驗(yàn)E的任何事件A都可表示為其樣本空間的子集。,樣本

7、空間Ω的僅包含一個(gè)樣本點(diǎn)ω的單點(diǎn)集{ω}稱為基本事件，也是一種隨機(jī)事件。否則，稱為復(fù)合事件(由兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本事件構(gòu)成的事件)。,事件發(fā)生：如果當(dāng)且僅當(dāng)樣本點(diǎn)ω1,ω2,…,ωk有一個(gè)出現(xiàn)時(shí)，事件A就發(fā)生。 用事件A中的樣本點(diǎn)的全體來(lái)表示事件A，即 A={?1， ?2，…... ?k},必然事件：每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件，用?表示； 不可能事件：每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事件，用Φ 表示.

8、,例：觀察擲一枚均勻的骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的試驗(yàn)中， “點(diǎn)數(shù)小于7” 是必然事件， “點(diǎn)數(shù)不小于7” 是不可能事件。,事 件——樣本點(diǎn)的集合 子集 樣本空間——全部樣本點(diǎn)的集合 全集 基本事件——一個(gè)樣本點(diǎn)的集合 單點(diǎn)集 復(fù)合事件——多個(gè)樣本點(diǎn)的集合 不可能事件——不包含任何樣本點(diǎn)的集合 空集 必然事件——全體樣本點(diǎn)

9、的集合（即樣本空間Ω） 全集,事件與集合的對(duì)應(yīng),例5,已知一批產(chǎn)品共100個(gè), 其中有95個(gè)合格品和5個(gè)次品。,檢查,產(chǎn)品質(zhì)量時(shí)，,從這批產(chǎn)品中任一抽取10個(gè)來(lái)檢查，,則在抽取,的產(chǎn)品中，,“次品數(shù)不多于5個(gè)”,“次品數(shù)多于5個(gè)”,不可能事件 Φ：,事件 A：,“恰有一個(gè)次品”,事件 B：,“至少有一個(gè)次品”,事件 C：,“沒(méi)有次品”,隨機(jī)事 件,必然事件 Ω：,基本事件,基本事件,包含5個(gè)基本事件,包含2個(gè)基本事件:,事件 D

10、：,“有2個(gè)或3個(gè)次品”,1.3 事件間的關(guān)系及運(yùn)算,引言,因?yàn)槿我浑S機(jī)事件都是樣本空間的一個(gè)子集，所以事件的關(guān)系和運(yùn)算與集合的關(guān)系和運(yùn)算完全類(lèi)似。,1、事件的包含與相等,** 事件 A 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B 的發(fā)生，則稱事件 B 包含 事件 A，或稱事件 A 包含于 事件 B ，記為 ：A ? B 或 B ? A。,樣本空間,B,A,屬于 A 的 ? 必然屬于 B,,注：對(duì)任一事件 A 有： ?

11、? A ?Ω,例1：一袋子中有分別編號(hào)為 1、2、…、10 的十個(gè)球，現(xiàn)從中任取一球，設(shè) A = {取到5號(hào)球}，B = {取到編號(hào)是奇數(shù)的球}，C = {取到編號(hào)是 1, 3, 5, 7, 9 的球}，D = {取到編號(hào) <3 的球}，E = {取到編號(hào)是偶數(shù)的球}。,則：事件 A 的發(fā)生必然導(dǎo)致事件 B 的發(fā)生。故事件 B 包含事件 A，即：B ? A。,在例1中，B ={取到編號(hào)是奇數(shù)的球}，　　　　　C={取到

12、編號(hào)是1,3,5,7,9的球}。,則：事件Ｂ與事件Ｃ含有相同的樣本點(diǎn)，故： Ｂ=Ｃ。,事件的相等,當(dāng)事件Ｂ包含事件Ａ且事件Ａ也包含事件Ｂ時(shí)，則稱：事件Ａ與事件Ｂ相等。記為Ａ=Ｂ。,,Ａ、Ｂ中含有相同的?,注：　相等的兩事件總是同時(shí)發(fā)生或同時(shí)不發(fā)生,樣本空間,Ａ,Ｂ,“兩事件Ａ與Ｂ中至少有一個(gè)發(fā)生” 這一事件稱為事件Ａ與Ｂ的和（并）。記為： Ａ∪Ｂ或Ａ+Ｂ。,,Ａ∪Ｂ中的樣本點(diǎn)是Ａ中的樣本點(diǎn)與Ｂ中的樣本點(diǎn)的和,

13、在例1中，B ={取到編號(hào)是奇數(shù)的球}，　　　　　　D={取到編號(hào)<3的球}。,則：Ｂ∪Ｄ={取到編號(hào)為1,2,3,5,7,9的球},注意： 樣本點(diǎn)重復(fù)時(shí)只寫(xiě)一次！,注：對(duì)任合事件 A，B 有 (1)A ?A+B ， B ?A+B (2)A+A=A， (3)A+Ω=Ω (4)A+Φ=Φ,2、事件的和（并）,事件和的推廣,樣本空間,A,B,,“兩事件Ａ與Ｂ都發(fā)生”

14、這一事件稱為事件Ａ與Ｂ的積（交）。記為：Ａ∩Ｂ或ＡＢ。,,Ａ∩Ｂ中的樣本點(diǎn)是Ａ與Ｂ所共有的樣本點(diǎn)。,在例1中， A={取到5號(hào)球}，　　　B ={取到編號(hào)是奇數(shù)的球},A∩B,A,則： Ａ∩Ｂ={取到編號(hào)為 5 的球},注：對(duì)任合事件 A，B 有 (1)A B ?A ，(2)AA=A，（3）AΦ = Φ,（4）AΩ=A,3、事件的積（交）,事件交的推廣,“n 個(gè)事件 A1,A2,?,An 都發(fā)生” 這一事件稱為事件A1,A2,

15、?,An的交。記為： A1∩A2∩?∩An 或 ∩Ai。 i=1,** 類(lèi)似地，也可定義無(wú)限多個(gè)事件的的交 ∩Ai。,4.事件的差,樣本空間,在例1中 A={取到5號(hào)球} B ={取到編號(hào)是奇數(shù)的球},事件Ａ發(fā)生而事件Ｂ不發(fā)生，這一新事件稱為事件Ａ與事件Ｂ的差，記為：Ａ－Ｂ。即：Ａ－Ｂ是把Ａ中屬于Ｂ的元素去掉注意：一般Ａ－Ｂ=Ａ－ＡＢ特別地：

16、 （1）ＡＢ=φ時(shí)，Ａ－Ｂ=Ａ （2）ＡＢ=Ａ?xí)r，即Ａ?Ｂ時(shí)， Ａ－Ｂ=φ （3）ＡＢ=Ｂ時(shí)，即Ｂ?Ａ?xí)r，Ａ－Ｂ=Ａ－Ｂ,A,則Ｂ－Ａ＝{取到編號(hào)是1,3,7,9的球},B,樣本空間,A,B,樣本空間,A,B,樣本空間,B,A,在例1中 A={取到5號(hào)球}，B={取到編號(hào)是偶數(shù)的球},,若兩事件Ａ與Ｂ不可能同時(shí)發(fā)生，即A∩B=φ，則稱事件Ａ與Ｂ互不相容（或互斥）

17、；否則稱Ａ與Ｂ是相容。,注：基本事件之間互不相容,則：事件Ａ與事件B互不相容。即ＡB＝φ。,樣本空間,A,B,5、事件的互不相容（互斥）,若 n 個(gè)事件 A1，A2，…，An 中任兩個(gè)都不可能同時(shí)發(fā)生，即： AiAj=φ，(1≤i<j≤n， i≠j)，則稱這 n 個(gè)事件是兩兩互不相容的（或互斥的）。它們的和記為： A1+A2+…+An,** 事件的互不相容的推廣,此概念還可以推廣到 A1，A2，…，An， …的

18、情形。,樣本空間,? A,,若兩事件Ａ與Ｂ是互不相容的，且它們的和是必然事件，即 （1） AB=φ（2） A∪B=Ω（或A+B=Ω）,則： 稱事件Ａ與Ｂ是對(duì)立事件，稱事件Ａ(事件Ｂ)是事件Ｂ ? ? (事件Ａ)的對(duì)立事件(逆事件)

19、。 記為：Ａ=Ｂ或 Ｂ=Ａ,A,6、 對(duì)立事件（逆事件）,? ?注 (1）對(duì)立事件是相互的:A是A的逆，A也是A的逆,在例1中， A={取到編號(hào)是奇數(shù)的球}， B ={取到編號(hào)是偶數(shù)的球},?則：事件A與事件Ｂ是對(duì)立事件, 即Ｂ= A。,? （2）一般 A – B = A-AB =AB,樣本空間,? A,兩事件互不相容只表明不

20、能同時(shí)發(fā)生（即：至多只能發(fā)生其中之一），但可以都不發(fā)生；而對(duì)立則表示有且僅有一個(gè)發(fā)生（即：肯定了至少有一個(gè)發(fā)生）。,** 對(duì)立事件與互不相容事件的聯(lián)系與區(qū)別,兩事件對(duì)立，必定互不相容，反之不然。,A,互不相容的概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件。,,?這是因?yàn)椋海粒?－Ａ。,樣本空間,A,Ｂ,Ｃ,7、完備事件組（P18 定義4.2),在例1中，設(shè)：Fi={取到 i 號(hào)球}，(i=1,2,…,10),n若 n 個(gè)事件A1

21、，A2，…，An兩兩互不相容，且? Ai = ? i=1 （1） A1∪A2∪…∪An = ? (2) AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，稱這 n 個(gè)事件構(gòu)成一個(gè)完備事件組（或Ω的一個(gè)劃分）,則：每個(gè)

22、事件Fi是基本事件，且 ? Fi=?，即：全體Fi構(gòu)成完備事件組。,注：樣本空間中全體基本事件構(gòu)成完備事件組。,所謂“Ω的一個(gè)劃分”是“完備事件組”的一個(gè)直觀解釋,,A1,A2,樣本空間Ω,A3,** 事件間的運(yùn)算律,（1）交換律 Ａ∪Ｂ=Ｂ∪Ａ Ａ∩Ｂ=Ｂ∩Ａ（2）結(jié)合律 (Ａ∪Ｂ) ∪C=Ａ∪(Ｂ∪C) (Ａ∩Ｂ) ∩C=Ａ∩(Ｂ∩C)（3）分配

23、律 (Ａ∪Ｂ) ∩C=(Ａ∩C) ∪(Ｂ∩C) (Ａ∩Ｂ) ∪C=(Ａ∪C)∩(Ｂ∪C)（4）對(duì)偶律,例1 設(shè)A、B、C是試驗(yàn)E的隨機(jī)事件，試用事件的運(yùn)算符號(hào)表示下列事件（1）A發(fā)生（2）只有A發(fā)生（3）A、B、C中恰有一個(gè)發(fā)生（4） A、B、C同時(shí)發(fā)生（5） A、B、C 中至少有一個(gè)發(fā)生（6） A、B、C中至多有一個(gè)發(fā)生（7） A、B、C 中恰有兩個(gè)發(fā)生

24、（8）A、B、C 中至少有兩個(gè)發(fā)生,三次都取到合格品,例2 從一批產(chǎn)品中每次取出一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),事件Ai 表示“第i 次取到合格品”(i=1、2、3).試敘述下列事件:（1） A1 A2A3 （2） A1+ A2+A3 （3） A1 - A2-A3,至少有一次取到合格品,第一次取到合格品,第二和三次取到次品,P5：習(xí)題1-1。,§2 隨機(jī)事件的概率,1、頻率的定義及性質(zhì)

25、定義 在n次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件A發(fā)生了nA次，則稱 nA為事件A發(fā)生的頻數(shù)，nA/n為事件A發(fā)生的頻 率，記為f n (A). 性質(zhì) （1）非負(fù)性 對(duì)任意事件A，0?fn(A) ?1 （2）規(guī)范性 fn(Φ )=0, fn(Ω )=1 （3）可加性 若事件A與B互不

26、相容，則 fn(A+B)=fn(A)+fn(B),2.1 頻率,2、頻率與概率,概率的統(tǒng)計(jì)定義 定義 在相同的條件下，重復(fù)進(jìn)行n次試驗(yàn)，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在0到1之間的某一常數(shù)p附近擺動(dòng)，且一般說(shuō)來(lái)，n越大，擺動(dòng)幅度越小，則稱常數(shù)P為事件A的概率，記作 P(A) 注意 （1）頻率的穩(wěn)定值為概

27、率，所以，一般n充分大時(shí)，常用頻率作為概率的近似值 （2）概率是先于試驗(yàn)而存在的,2.2 概率的定義及性質(zhì),設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為Ω，設(shè)對(duì)每個(gè)事件A,都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，滿足下列三條公理：,(2) 規(guī)范性: P(Ω)=1,(3) 完全可加性（可列可加性）:若Ak (k=1，2，…) 兩兩互不相容，則 ? ?　　　　　　?。??Ai) = ?Ｐ(Ai)

28、 i=1 i=1,定義2.1(概率的定義),(1)非負(fù)性 : 對(duì)于任一事件A，都有 P(A)≥0,則稱函數(shù)P(A)為事件A的概率。,概率的主要性質(zhì),性質(zhì)1 不可能事件的概率為零，即P(φ)=0.,性質(zhì)2 (有限可加性) 若A1，A2，…，An 兩兩互不相容， 則,證明 因,由性質(zhì)2有,即：,故：,性質(zhì)4 （1）任給 A，B兩事件，則

29、：P(A－B)＝P(A)－P(AB)　?。?）若Ｂ?Ａ則： P(A－B)＝P(A)－P(B) （3）若Ｂ?Ａ則： P(A)≥P(B),證明：因,且(A-B)與AB互不相容，由性質(zhì)2 (有限可加性)，得P(A)＝P(A-B)＋P(AB)P(A－B)＝P(A)－P(AB),當(dāng)Ｂ?Ａ?xí)r，有：AB=B，故有：P(A－B)＝P(A)－P(B),當(dāng)Ｂ?Ａ?xí)r，有P(A－B)＝P(A)－P(B) ≥0,則

30、 P(A)≥P(B),性質(zhì)5 對(duì)任一事件A，P(A)≤1.,證明：因?yàn)锳?Ω，由性質(zhì)4 可得，P(A)≤ P(Ω)=1 。,證明 因： A+B=A+(B-AB) 且 A∩(B-AB)=Ф（即：A與B-AB互不相容），由性質(zhì)2 (有限可加性)得：,性質(zhì)6 加法公式 P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB),一般的加法公式:,代入上式得：P(A+B)= P(A)+ P(B)- P(AB),P(B-AB)=P(B)-P(A

31、B),又因AB包含于B，由性質(zhì)4得：,P(A+B)=P(A+(B-AB))=P(A)+P(B-AB),推論：當(dāng)A與B互不相容時(shí) P(A+B)＝P(A)＋P(B),例1：（課本P9）已知 P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6, 求 P(A-B),解：由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB),得,P(A)-P(AB) =P(A∪B)- P(B)=0.6-0.3=0.3,于是 P(A-B)= P(A)-P(AB) =P(A∪B)-

32、P(B)=0.6-0.3=0.3,例2：（課本P9)某市發(fā)行“晚報(bào)”和“時(shí)報(bào)”兩種報(bào)紙，訂閱“晚報(bào)”的有45%，訂閱“時(shí)報(bào)”的有35%，其中訂閱兩種報(bào)紙的有10%，求只訂一種報(bào)紙的概率。,解：設(shè)事件A表示“訂閱晚報(bào)”，B 表示“訂閱時(shí)報(bào)”， C 表示“只訂一種報(bào)紙”，則,P(A)=0.45，P(B)=0.35 ， P(AB)=0.1 ， 求P(C)=?,而C =(A-B)∪(B-A)，,(A-B)與(B-A)互不相容，,由性質(zhì)2和性質(zhì)4

33、，得,P(C )=P(A-B)+P(B-A),=P(A)-P(AB)+P(B)- P(AB),=0.45-0.1+0.35-0.1=0.6,解：設(shè) A表示第一部電話不占線，B表示第二部電話不占線。在一小時(shí)內(nèi)至少有一部電話不占線表示為,例3（補(bǔ)充) ：有兩部電話，在一小時(shí)內(nèi)第一部電話占線的概率為0.6，第二部電話占線的概率為0.7，兩部電話都不占線的概率為0.2，求在一小時(shí)內(nèi)至少有一部電話不占線的概率。,由性質(zhì)5得：P(A∪B)= P(A

34、)+ P(B)- P(AB)=0.4+0.3-0.2=0.5,則 P(A）=0.4 P(B)=0.3 P(AB)=0.2,A∪B,自學(xué)書(shū)上P9例3,Ex1-2 P9,§3 古典概型與幾何概型,3.1 古典概型,古典概型是一種計(jì)算概率的數(shù)學(xué)模型，它是在概率論的發(fā)展過(guò)程中最早出現(xiàn)的研究對(duì)象。,古典概型定義,若一隨機(jī)試驗(yàn)滿足下述兩個(gè)條件：,1) 樣本空間只含有有限多個(gè)樣本點(diǎn)（有限性）；,2）每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相等

35、（等可能性）。,則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)為古典概型,即：Ω={ω1，ω2，…，ωn},即：對(duì)每個(gè) i = 1，2，…，n有：P({ω1})= P({ω2})=…= P({ωn})=1/n,這是一類(lèi)最簡(jiǎn)單卻是常見(jiàn)的隨機(jī)試驗(yàn)。,,例 一個(gè)袋子中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的球，編號(hào) 分別為1~10，現(xiàn)從中任取一球。,用i表示取到i號(hào)球，i = 1, 2, … , 10，則該實(shí)驗(yàn)的樣本空間 ? = {1,2,…,10}（有

36、限多個(gè)樣本點(diǎn)）,且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性相同（1/10）。,再如：[1]擲一枚均勻的硬幣 （1）有2個(gè)可能的結(jié)果 （2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的[2]擲一枚均勻的骰子 （1）有6個(gè)可能的結(jié)果 （2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的[3]在5個(gè)白球3個(gè)黑球任取2個(gè) （1）有 個(gè)可能的結(jié)果 （2）每個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)都是等可能的,古典概型中事件概率的計(jì)算,在古典

37、概型中，如果樣本空間?含n個(gè)基本事件（樣本點(diǎn)）事件A包含的基本事件為 k個(gè)，則定義事件Ａ的概率 P(A)為：,,求概率問(wèn)題,計(jì)數(shù)問(wèn)題,,例1 將三枚均勻的硬幣投擲一次，試求下列事件的概率：（1）恰好有一枚硬幣正面朝上；（2）至少有一枚硬幣正面朝上。,舉例 [1]摸球問(wèn)題 （組合問(wèn)題） 例1 一袋中有大小、形狀完全相同的5個(gè)白球4個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球求： （1）恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球的概率

38、 （2）沒(méi)有黑球的概率 （3） 顏色相同的概率解 設(shè)A={任取3個(gè)球，恰有2個(gè)白球1個(gè)黑球} B={任取3個(gè)球，沒(méi)有黑球} C={任取3個(gè)球，顏色相同}P（A）= P（B）= P（C）=,P11 例2 例5,另如： 1o 52

39、張牌中任取4張,求 （1）2張紅桃，1張方塊，1張黑桃的概率 （2）沒(méi)有A的概率 （3）4張大小相同的概率,例3 一批產(chǎn)品100個(gè)，其中有6個(gè)廢品?，F(xiàn)從這批產(chǎn)品中 任取3個(gè)，求取出的3個(gè)產(chǎn)品中正好有1個(gè)廢品的概率。,[2] 排隊(duì)問(wèn)題 （不可重復(fù)的排列問(wèn)題）例1 一套五卷的選集，隨機(jī)的放到書(shū)架上，求各冊(cè)自左向右或自右向左卷號(hào)恰為1、2、3、4、5順序的

40、概率。解 設(shè)A——“各冊(cè)自左向右或自右向左卷號(hào)恰為1、2、 3、4、5順序” 樣本空間包含的基本事件總數(shù) n=5！=120 事件A中包含的基本事件個(gè)數(shù)k=2 所以,例 把10本書(shū)任意地放在書(shū)架上，求其中指定的3本書(shū)放在一起的概率 設(shè)A——其中指定的三本書(shū)放在一起則 P（A）= ———,[3]分房問(wèn)題 (生日問(wèn)題) （可重復(fù)的排列問(wèn)

41、題）例 （ P12例4）兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號(hào)為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的4個(gè)郵筒投寄。求：（1）前兩個(gè)郵筒各投入1封信的概率（2）第Ⅱ個(gè)郵筒恰好投入1封信的概率（3）兩封信投入不同郵筒的概率解 設(shè)A——前兩個(gè)郵筒各投入1封信 B——第Ⅱ個(gè)郵筒恰好投入1封信 C——兩封信投入不同郵筒而 樣本空間包含的基本事件總數(shù)n=42=16 事件A中包含的基本事件

42、個(gè)數(shù)kA=2!=2 事件B中包含的基本事件個(gè)數(shù)kB=C21C31=6 事件C中包含的基本事件個(gè)數(shù)kC=P42=12則 P（A）= 2/16 P（B）= 6/16 P（C）=12/16,P13 例6,[4]抽簽問(wèn)題(抓鬮問(wèn)題 ),解：設(shè)Ａ——“他抽到會(huì)答考簽”,例 抽簽口試，共有a+b 個(gè)考簽，每個(gè)考生抽一張，抽過(guò)的不在放回?？忌跄硶?huì)答其中a個(gè)簽上的問(wèn)題

43、，他是第k個(gè)抽簽應(yīng)考的人（k≤a+b)，求他抽到會(huì)答考簽的概率。,1　　　　　?。胊?（a+b-1）！ a P(Ａ)= ——————— = —— （a+b）！ a+b,注意：該結(jié)果與 k 無(wú)關(guān),古典概型的優(yōu)、缺點(diǎn),優(yōu)點(diǎn)：古典概率可直接按公式計(jì)算，而不必進(jìn)行大量的重 復(fù)試驗(yàn)。,缺點(diǎn)：有局限性：只能用于全部結(jié)果為有限個(gè)，且等可 能

44、性成立的情形。,一、定義 （P14） 1、度量（測(cè)度）：對(duì)某區(qū)域 D（線段、平面圖形、立體）的大小的一種數(shù)量描述 （長(zhǎng)度、面積、體積），用 ?(D) 表示 2、幾何概型 如果試驗(yàn)的每個(gè)基本事件可用一個(gè)幾何區(qū)域Ω中的一點(diǎn)表示，全體基本事件可用幾何區(qū)域Ω中的所有點(diǎn)表示.設(shè)區(qū)域G ?區(qū)域?，向區(qū)域?內(nèi)隨機(jī)地（等可能地）投點(diǎn)，點(diǎn)落入G的概率與區(qū)域G的測(cè)度成正比，而與該區(qū)域在?中的位置、形狀無(wú)關(guān)，則稱此概率模型為

45、幾何概型,3.2 幾何概型,3、幾何概率的求法（P15） 隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間的測(cè)度為?(?) ，區(qū)域G（ ? ?）的測(cè)度為?(G) ，用A表示“在區(qū)域?中隨機(jī)投點(diǎn)，而該點(diǎn)落入?yún)^(qū)域G中”這一事件，則事件A的概率為,例8 （會(huì)面問(wèn)題 ）甲乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處見(jiàn)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可離去。假定每人在指定的1小時(shí)內(nèi)任一時(shí)刻到達(dá)是等可能的，求兩人能會(huì)面的概率。解 設(shè)A——兩人能會(huì)面

46、 x——甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻 y——乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻則樣本空間?={（x，y）| 0?x ?60，0 ? y?60}A為區(qū)域 G={（x，y）| 0? | x -y | ?15}且G ??于是 P（A）=,,,,,0,60,60,x,y,G,另解 設(shè)A——兩人能會(huì)面 x——甲到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻 y——乙到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)刻則樣本空間?={（x，y）| 6?x

47、?7，6 ? y?7}A為區(qū)域 G={（x，y）| 0? | x -y | ? 1/4}，且G ??于是 P（A）=,,,,,0,x,y,G,補(bǔ)充 甲乙兩艘輪船向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘輪船的碼頭停泊，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)的時(shí)刻是等可能的。如果甲乙兩船的停泊時(shí)間都是一小時(shí)，求它們中的任何一艘都不需等候碼頭空出的概率。解 設(shè)A——它們中任何一艘都不需等候碼頭空出 x——甲船到達(dá)碼頭的時(shí)刻

48、y——乙船到達(dá)碼頭的時(shí)刻則樣本空間?={（x，y）| 0?x ?24，0 ? y?24}A為區(qū)域 G={（x，y）| | x -y | ?1}，且G ?? 于是 P（A）=,,,,,§4 條件概率,在研究事件的概率時(shí)，有時(shí)會(huì)考慮一定的附加條件,如在一個(gè)事件已經(jīng)發(fā)生的條件下,考慮另外一個(gè)事件發(fā)生的可能性.,4.1 條件概率的概念,令： Ａ={一個(gè)是男孩} Ｂ={一個(gè)是女孩},引例 考察有兩個(gè)小孩的家庭,已知其中

49、有一個(gè)是女孩,問(wèn)另一個(gè)是男孩的概率。,則：,Ω={（男，男）、（男，女）、（女，男）、（女，女）},A={（男，男）、（男，女）、（女，男）},B={（男，女）、（女，男）、（女，女）},已知其中有一個(gè)是女孩,另一個(gè)是男孩的概率為,一個(gè)是男孩的概率為,,條件概率,分析:,定義4.1 設(shè)A、B為任意兩個(gè)事件，且P(A)>0，在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下,事件B發(fā)生的概率,稱為條件概率, 記作P(B|A).,注:,(2) P(B)稱為無(wú)

50、條件概率,(1) P(B∣A)的直觀含義,(3)一般地， P(B∣A)≠ P(B),(4)性質(zhì)：設(shè)P(A)>0,(2) P(Ω|A)=1,(3)若Ak (k=1，2，…) 兩兩互不相容，則 ? ??。??Ai |A) = ?Ｐ(Ai |A) i=1

51、i=1,(1)對(duì)于任一事件B，都有 0≤P(B|A)≤1,例2 P16-17,4.2 條件概率的計(jì)算公式,定例理4.1 設(shè)A,B是任意兩個(gè)事件，則,證明 （以古典概型為例）,樣本空間,A,B,B 新樣本 空間,A,條件概率P(A|B)的實(shí)質(zhì)是樣本空間起了變化。,新的樣本空間縮小為只取Ｂ所包含的樣本點(diǎn)。有利事件為AB。,AB,注意:應(yīng)用此公式時(shí)P(B) P(AB)都是

52、在原來(lái)的樣本空間中考慮,例2 在１０件產(chǎn)品中，有３件不合格品，任取兩次，每次?。奔?，取出后不放回，若已經(jīng)發(fā)現(xiàn)第１件是合格品，求第２件也是合格品的概率。,解：設(shè)Ａi = {第 i 次取到合格品}，i = 1，2。,方法1 (利用公式),Ｐ(Ａ2|Ａ1) = 6/9,Ｐ(Ａ1) = Ｐ(Ａ1Ａ2) =,方法2 (直接求),定理4.2 對(duì)任意兩事件A、B，都有P(AB)=P(A)P(B|A)

53、 ( P(A)>0 ),P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)>0 ),注：當(dāng)P(AB)不容易直接求得時(shí)，可考慮利用P(A) 與P(B|A)的乘積或P(B)與P(A|B)的乘積間接求得。,對(duì)于任意n個(gè)事件A1,A2, …,An, 且 P(A1A2 …An-1)>0 , 則有 P(A1A2…An)=P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1A2)…P(An|A1A2

54、 …An-1),推廣的乘法公式,4.3 乘法公式,4%次品,96% 正品,75% 一等品,例１：一批產(chǎn)品的次品率為4％，正品中一等品率為75％，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意取一件，試求恰好取到一等品的概率。,解：,記A＝{取到一等品}， B＝{取到次品}， ＝{取到正品}。,則有： P(B)=4/100 P( )=96/100 P(A| )=75/100,由于：Ａ?　　　故：Ａ＝Ａ　　，于是：,例2 10

55、張考簽中有4張難簽，甲、乙、丙 3人參加抽簽（不放回），甲先，乙次，丙后， 求甲、乙、丙都抽到難簽的概率？,記A＝{甲抽到難簽}， B＝{乙抽到難簽}， C＝{丙抽到難簽}，,P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=,P(A)= P(B|A)= P(C|AB)=,4.4 全概率公式與貝葉斯公式,定義4.2（ 樣本空間Ω的一個(gè)劃分),n若 n 個(gè)事

56、件A1，A2，…，An兩兩互不相容，且? Ai = ? i=1 （1） A1∪A2∪…∪An = ? (2) AiAj=φ，(1≤i<j≤n)，稱這 n 個(gè)事件構(gòu)成Ω的一個(gè)劃分（或一個(gè)完備事件組）,例

57、如：一盒子中有編號(hào)為1—5的5個(gè)球，現(xiàn)從中任取一球，考察所取得球的號(hào)碼X。,則樣本空間Ω={1，2，3，4，5},而A={X3}為Ω的一個(gè)劃分,A1={X為偶數(shù)}，B1={X為奇數(shù)}也是Ω的一個(gè)劃分,一個(gè)事件發(fā)生.,定理4. 3 設(shè)A1, A2, ? , A n 構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，并且 P(Ai)>0, i=1,2, ?n, 則對(duì)任意事件B，有,全概率公式,證明：,推論 若事件A滿足 0<P

58、(A)<1, 則對(duì)任意事件B，有,某一事件B的發(fā)生有各種可能的原因 ，如果B是由原因Ai (i=1,2,…,n) 所引起，則A發(fā)生的概率是,每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因引起B(yǎng)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.,P(AiB)=P(Ai)P(B |Ai),全概率公式.,我們還可以從另一個(gè)角度去理解,全概率公式可看成是“由原因推結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即：結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān)

59、，全概率公式表達(dá)了它們之間的關(guān)系。,P19例5：某商店新進(jìn)一批產(chǎn)品100個(gè)，其中有3個(gè)次品。顧客在購(gòu)買(mǎi)時(shí)無(wú)法分辨每件產(chǎn)品的優(yōu)劣，而且每個(gè)顧客只能買(mǎi)一個(gè)，第一位顧客隨機(jī)買(mǎi)走了一個(gè)，接著第二位顧客又隨機(jī)買(mǎi)走了一個(gè)。試問(wèn)第二位顧客買(mǎi)的產(chǎn)品是次品的概率。,設(shè)Ａ1={第 一 位顧客買(mǎi)走的是次品}，Ａ2={第一位顧客買(mǎi)走的是正品}，B = {第二位顧客買(mǎi)走的是次品},解：,則 P(A1)= ，P(A2)=,則 P(B

60、)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2),補(bǔ)充例：12個(gè)乒乓球9新3舊，第一次比賽時(shí)取出3個(gè)用完后放回，第二次比賽又取出3個(gè)，求取出的3個(gè)球中有2個(gè)新球的概率。,設(shè)Ａi={第一次取出的3個(gè)球中有i個(gè)新球}，(i=0，1，2，3),Ｐ(B|A0)= Ｐ(B|A1)= P(B|A2)= P(B|A3)=,B={第二次取出的3個(gè)球中有2個(gè)新球},

61、=0.455,Ｐ(A0)= Ｐ(A1)= P(A2)= P(A3)=,則：P(B)=P(A0) P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),解：,P19例6,P19例7 某晶體管廠有三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一型號(hào)的電子管，已知有1/2產(chǎn)品是第一個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的，其他兩個(gè)車(chē)間各生產(chǎn)1/4，第一、二兩個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品

62、率為2%，第三車(chē)間生產(chǎn)的產(chǎn)品廢品率為4%，（1）現(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任取一個(gè)，問(wèn)取到的產(chǎn)品是廢品的概率是多少？（2）現(xiàn)已知從該廠產(chǎn)品中任取一個(gè)，結(jié)果是廢品，但該產(chǎn)品是哪個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的標(biāo)記已經(jīng)脫落，問(wèn)廠方如何處理這個(gè)廢品比較合理？,（1）設(shè)Ａi={取到的產(chǎn)品是第 i 個(gè)車(chē)間生產(chǎn)的} ( i =1, 2,3)， B = {取到的產(chǎn)品為次品},解：,則 P(A1)= ，P(A2)=

63、 P(A3)=,P(B|A1)=2%,P(B|A2)=2%,P(B|A3)=4%,則 P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),,=0.025,實(shí)際中還有一類(lèi)問(wèn)題—“已知結(jié)果求原因”。這類(lèi)問(wèn)題在實(shí)際中常見(jiàn)，是已知某結(jié)果發(fā)生的條件下，求各原因發(fā)生的可能性大小，即求條件概率。貝葉斯公式就解決這類(lèi)問(wèn)題。,利用條件概率的計(jì)算公式與全概率公式可導(dǎo)出貝葉斯公式：,定理4.

64、4(貝葉斯公式)：設(shè)A1 ，A2 ，… An構(gòu)成樣本空間的一個(gè)劃分，且 P(Ai)>0(i=1,2, …n), 則對(duì)任意一概率不為零的事件B，有,2. 貝葉斯公式,證明:,該公式于1763年由貝葉斯 (Bayes) 給出. 它是在觀察到事件B已發(fā)生的條件下，尋找導(dǎo)致B發(fā)生的每個(gè)原因的概率.在實(shí)際中有很多應(yīng)用，它可以幫助人們確定某結(jié)果（事件 B）發(fā)生的最可能原因.,在貝葉斯公式中，P(Ai)（i=1，2，…）是在沒(méi)有新的信息（不

65、知道結(jié)果B是否發(fā)生）的情況下，人們對(duì)原因Ai發(fā)生可能性大小的認(rèn)識(shí)。 當(dāng)有了新的信息（知道結(jié)果B發(fā)生）， P(Ａi|Ｂ)是人們對(duì)原因Ai發(fā)生可能性大小的新的認(rèn)識(shí)。 P(Ai) 和 P(Ai|B) 分別稱為原因Ai的先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率。 應(yīng)用貝葉斯公式計(jì)算后驗(yàn)概率，以此作出某種判斷或決策,貝葉斯公式的意義： 假設(shè)導(dǎo)致“結(jié)果”B發(fā)生的“原因”Ai(i=1，2，…）兩兩不相容，現(xiàn)已知事件B發(fā)生了，若要計(jì)算導(dǎo)致B出現(xiàn)的“原因”Ai的概率，

66、則可用貝葉斯公式求。即可從結(jié)果分析原因，所以又稱為逆概率公式。,P21例8 某醫(yī)院對(duì)某疾病有一種有效的檢驗(yàn)方法，可對(duì)0.95的該病患者和0.9的無(wú)該病者診斷無(wú)誤，又由歷史資料知道該病的發(fā)病率為0.0004,現(xiàn)有一人用這種方法檢驗(yàn)出患該病，求此人確患該病的概率。,由貝葉斯公式得：,要求P(A|B),P21例9,例： 有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)，他坐火車(chē)、船、汽車(chē)、飛機(jī)的可能性分別是0.3、0.2、0.1和0.4，如果他坐火車(chē)、船、汽

67、車(chē)來(lái)的話，遲到的概率分別是 1/4、1/3、1/12，而坐飛機(jī)不會(huì)遲到。結(jié)果他遲到了，問(wèn)他坐火車(chē)來(lái)的概率是多少？,解：設(shè)A1={坐火車(chē)}，A2={坐船}，A3={坐汽車(chē)}，A4={坐飛機(jī)}， B={遲到}。,由貝葉斯公式得：,則 P(A1)=0.3， P(A2)=0.2， P(A3)=0.1， P(A4)=0.4,P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3， P(B|A3)=1/12， P(B|A4)=0,要求P

68、(A1|B),課堂練習(xí)：市場(chǎng)供應(yīng)的燈泡中甲廠產(chǎn)品0.6,乙廠產(chǎn)品占0.4,甲廠產(chǎn)品的次品率為0.05,乙廠產(chǎn)品的次品率為0.1, 若買(mǎi)到一只燈泡是合格品，求它是由甲廠生產(chǎn)的概率。,解：設(shè)A1={甲廠生產(chǎn)}， A2={乙廠生產(chǎn)}， B={合格品},由貝葉斯公式得：,則 P(A1)=0.6， P(A2)=0.4,P(B|A1)=1-0.05=0.95， P(B|A2)=1-0.1=0.9,要求P(A1|B),P22 Ex 6-10,