1、第1頁高考微專題高考微專題導函數(shù)為超越函數(shù)的放縮討論導函數(shù)為超越函數(shù)的放縮討論蓮塘一中李樹森含參數(shù)的不等式在給定區(qū)間內(nèi)恒成立，求參數(shù)的范圍問題，是導數(shù)應用中重要題型，此類問題通常是通過分類討論、求導、構造新函數(shù)、再求導等多步驟完成，過程復雜令考生望而生畏，特別是有的導函數(shù)是超越函數(shù)，零點的不確定性更是增加了問題難度，這里我們介紹破解此種問題的一種方法：超越函數(shù)，放縮有度。【例題】已知函數(shù)當時恒成立求實數(shù)的取值范()ln(1)(1)1xf

2、xeaxax??????0x?()0fx?a圍【過程分析】觀察發(fā)現(xiàn)函數(shù)，(0)0f?()(1)1xafxeaxx?????解決問題需要的理論支撐：對于連續(xù)函數(shù)在上有且發(fā)現(xiàn)，則必()fx0[)x??()0fx?0()0fx?定存在的一個鄰域使得當時即函數(shù)遞增；0x00()xx??00()xxx???()0fx?學生的困惑點是含參的導函數(shù)為超越函數(shù)其零點是否存在或存在時超越方程又無法解出零點，此時我們可以考慮兩條路：要么繼續(xù)二階求導；要么放

3、縮導函數(shù)，將導函數(shù)放縮成可求零點的整式函數(shù)（關注等號成立情況，放縮要有度）；兩條路最終都回到討論參數(shù)范圍，驗證不等式是否恒成立【解析】方法一：分析導函數(shù)，二階求導由題意知（）()(1)1xafxeax?????(1)(1)(1)1xexaxax???????0x?設，發(fā)現(xiàn)，（函數(shù)的正負等同于的正負）()(1)(1)(1)xgxexaxa??????(0)0g?()gx()fx知，易知在上單調(diào)遞增，即()(2)(1)xgxexa????(

4、2)xyex??0x?0(2)(2)|2xxxexex?????下面則以和確定參數(shù)分界點進行分類討論（分類的依據(jù)是明確導函數(shù)的正負）(1)2a??(1)2a??方法二：放縮導函數(shù)成可求零點的整式函數(shù)由（當且僅當時等號成立）知1xex??0x?()(1)1xafxeax?????1(1)1axax??????即（）2(1)(1)(1)()1xaxafxx???????[(1)]1xxax?????0x?下面則以和確定參數(shù)分界點進行分類討論

5、（分類的依據(jù)是明確導函數(shù)的正負）(1)0a??(1)0a??（1）當時，，即在上單調(diào)遞增，1a?()0gx?()gx0x?()(0)0gxg??得，知在上單調(diào)遞增，所以（符合題意）()0fx?()fx0x?()(0)0fxf??（2）當時，（此時導函數(shù)不恒正了，可以通過再求導，取特殊點驗證）1a?由，得()(1)1xafxeax?????2()(1)xafxex???當時，在上單調(diào)遞增，，1a?()fx0x?(0)10fa???1(1)

6、1afae????（有兩項為了使同時含數(shù)與變量的項化為常數(shù)，賦值）()fxax1a?在時，，即1a?10a??101aee???1(1)10afae?????故在上存在唯一的零點，當時，，即在上()fx(01)a?0x0[0)xx?()0fx?()fx0[0)xx?遞減，得，知在上遞減，此時與已知矛盾（不合題()(0)0fxf??()fx0[0)xx?()(0)0fxf??意）（出現(xiàn)多次求導時，要注意導函數(shù)與原函數(shù)的對應關系，導函數(shù)的正

7、負對應原函數(shù)的增減）【評析】用導數(shù)研究含有指數(shù)或對數(shù)的（超越類）函數(shù)是很普遍的，有時還需要對這類函數(shù)（導函數(shù)）的解析式放縮為可求零點函數(shù)，這樣確定導函數(shù)的正（負）分界點，這是參數(shù)討論依據(jù)，但要特別關注等號是否能夠傳遞，即放縮要有度，不恰當就達不到目的。試題尋根之旅:構造函數(shù)逆用函數(shù)單調(diào)性得參數(shù)取值范圍巧法：由時恒成立即，0x?()0fx?ln(1)1ln(1)ln(1)xxeaxxaxeax?????????第2頁(觀察結構，將指對數(shù)分

8、離，發(fā)現(xiàn)問題來源于一個函數(shù)的單調(diào)性)令，問題轉化為對恒成立，()xxeax???()[ln(1)]xx????0x?再令（），，且，()ln(1)hxxx???0x?1()1011xhxxx??????(0)0h?知恒成立，當且僅當時等號成立，即對恒成立，()(0)0hxh??0x?ln(1)xx??[0)x???所以逆用函數(shù)單調(diào)性知在上為單調(diào)遞增函數(shù)()xxeax???[0)x???即對恒成立，，即為所求()0xxea????[0)x