1、第三屆保良局(香港)國(guó)際小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽(1999．7),隊(duì)際賽試卷,1. 分?jǐn)?shù) 可以寫(xiě)成1+ 形式，其中x，y，z都是不同的整數(shù)。試求x+y+z的值,,,10。 因題形式中x=5，y=3，z=2。,2、有一個(gè)關(guān)于畢達(dá)哥拉斯的故事是說(shuō)，他有一次處罰學(xué)生，要他來(lái)回?cái)?shù)在戴安娜神廟的七根柱子(這七根柱子分別標(biāo)上A，B，C，…，G)，一直到指出第1999根柱子的標(biāo)號(hào)是哪一個(gè)才能夠停止。你可否幫助他盡快結(jié)束這個(gè)處罰?

2、 A B C D E F G 1 2 3 4 5 6 7 13 12 11 10 9 8 14 15 16 17 18 19 25 24 23 22 21 20 … … … … … … … … … … … …,G柱

3、子。 因G柱子上的數(shù)是7，19，31，…。1999=12×(167-1)+7，說(shuō)明1999恰好是G柱子上的第167個(gè)數(shù)。,3、99個(gè)蘋(píng)果要分給一群小朋友，每一個(gè)小朋友所分得的蘋(píng)果數(shù)都要不一樣，且每位小朋友至少要有一個(gè)蘋(píng)果。試問(wèn)這群小朋友最多有幾位?,13(位)。 1+2+3+…+13=9199，說(shuō)明若13位各分得l，2，3，…，13個(gè)蘋(píng)果未分完99個(gè)，若14位各分得l，2，3，…，14個(gè)蘋(píng)果則超出99個(gè)。因91+8=99

4、，在13位上述分法中若把剩下的8個(gè)蘋(píng)果分別加到后8位人上，就可得合題意的一個(gè)分法：13人依次分1，2，3，4，5，7，8，9，10，11，12，13，14個(gè)。所以最多有13位小朋友。(注：13人的分法不惟一),4、一個(gè)家具店在1998年總共賣(mài)了213張床。起初他們每個(gè)月賣(mài)出25張床，之后每個(gè)月賣(mài)出16張床，最后他們每個(gè)月賣(mài)出20張床。試問(wèn)他們共有多少個(gè)月是賣(mài)出25張床?,1個(gè)月。 設(shè)賣(mài)25、16、20張床的月份分別為n、m、p個(gè)月(

5、n，m，p為自然數(shù))，則n+m+p=12，25n+16m+20p=213。將m=12-n-p代入后一式，化簡(jiǎn)后有9n+4p=21。顯然此方程在自然數(shù)范圍內(nèi)只有n=1，p=3。故只有1個(gè)月賣(mài)25張床。,5、請(qǐng)把l，2，…，9的數(shù)字填入下左圖五個(gè)圓的9個(gè)區(qū)域中(每一個(gè)區(qū)域只填入一個(gè)數(shù)字)，使得每一個(gè)圓中的數(shù)字的總和皆相等。,有三類(lèi)填法如下三圖所示。1+2+3+…+9=45，設(shè)四個(gè)重復(fù)區(qū)域(月牙形)內(nèi)分別填A(yù)，B，C，D，由題意知，45+A

6、+B+C+D能被5整除，所以A+B+C+D能被5整除。顯然，A+B+C+D=O，5不合題意。若A+B+C+D=10，則A，B，C，D只可取為1，2，3，4。因(45+10)÷5=11，所以每個(gè)圓中的數(shù)字和為11。有如下圖1的一類(lèi)填法。同理，每個(gè)圓中的數(shù)字和為13時(shí)，有如下圖2的一類(lèi)填法（此時(shí)，A，B，C，D只能取6，2，8，4)。每個(gè)圓中的數(shù)字和為14時(shí)，有如下圖3的一類(lèi)填法(此時(shí)，A，B，C，D只能取6，7，3，9)。

7、,6、下右圖中5、8和10分別代表包含該數(shù)字的三個(gè)三角形的面積。試問(wèn)包含X這個(gè)數(shù)字的四邊形面積是多少?,22。 如右圖，設(shè)虛線把四邊形X分成a、b兩個(gè)三角形。利用同高的兩個(gè)三角形面積之比等于相應(yīng)底邊之比，可得： (可化簡(jiǎn)為2a-b=8①)和 (可化簡(jiǎn)為5b-4a=20②)，①×2-②得3b=36．則b=12。代入①得a=10故X=a+b=10+12=22。,,,7、運(yùn)動(dòng)員A和運(yùn)動(dòng)員B在平地上的速度分別

8、為每分鐘140米與l00米。但是，當(dāng)他們下坡時(shí)，其速度每分鐘均增加20米，當(dāng)他們上坡時(shí)速度每分鐘均減少20米。今他們同時(shí)從斜坡上開(kāi)始出發(fā)，跑到斜坡下再往回跑，如此繼續(xù)下去。如果他們第三次面對(duì)面相遇時(shí)的位置與第一次運(yùn)動(dòng)員A追上運(yùn)動(dòng)員B的位置之間相距是200米。試問(wèn)這個(gè)斜坡的長(zhǎng)度是多少?,400米。 由題意知，在相同時(shí)間內(nèi)，①B下坡與A下坡的路程之比為 ；②B上坡與A上坡的路程之比為 ；③B下坡與A上坡的路程相

9、等；④B上坡與A下坡的路程之比是 。由這些結(jié)果和圖示知，第三次面對(duì)面相遇在斜坡的中點(diǎn)處，第一次A追上B在斜坡底。所以斜坡長(zhǎng)=200×2=400(米)。,,,,8、1×4×7×10×…×1999的積可以表示成7a·l0bA的形式，其中a、b與A都是正整數(shù)。試求a+b的值，其中a、b兩數(shù)愈大愈好。,277。 積的各因數(shù)為an=3n-2(n=1，2，3，4，…

10、，667)，則積=al·a2·a3·a4·…·a667?？疾爝@積中含7的個(gè)數(shù)：①a3=7×1，al0=7×4，al7=7×7，a24=7×10，…，a661=7×283，共95個(gè)(95是由等差數(shù)列3，10，17，24，…661求項(xiàng)數(shù)得，即由661=7(n-1)+3解得n=95)，都含有一個(gè)7，共95個(gè)7；②a17=72×1，a6

11、6=72×4，a115=72×7，a164=72×10，，…，a654=72×40，共14個(gè)，每個(gè)又多含一個(gè)7，共14個(gè)7；③a115=73×1，a458=73×4中，又各多含一個(gè)7，共2個(gè)7。所以積中含7的個(gè)數(shù)是95+14+2=11l(個(gè))，即最大的a=11l。,考察積中含10的個(gè)數(shù)。10=2×5，因子2比5多。只需考察含因子5的個(gè)數(shù)：①a4=5×2，a9

12、=5×5，a14=5×8，…，a664=5×398，共133個(gè)，每個(gè)都含一個(gè)5，共133個(gè)5；②a9=52×l，a34=52×4，a59=53×7，…，a659=52×79，共27個(gè)，每個(gè)又多含一個(gè)5，共27個(gè)5；③a84=53×2，a209=53×5，a334=53×8，…，a584=53×14，共5個(gè)，每個(gè)又多含一個(gè)5，共5

13、個(gè)5；④a209=54×1中又多含一個(gè)5。所以積中共含有因子5的個(gè)數(shù)為133+27+5+l =166(個(gè))。即最大的b=166。 a+b=111+166=277。,9．請(qǐng)找出符合下列性質(zhì)的所有四位數(shù)。(1)它是一個(gè)平方數(shù)；(2)頭兩位數(shù)的數(shù)字要相同；(3)最末兩位數(shù)的數(shù)字要相同。,7744。 設(shè)四位數(shù)為 。因=1000a+100a+10b+b=11× ，要是完全平方數(shù)，則 能被質(zhì)數(shù)ll

14、整除，因而只能是902，803，．704，605，506，407，308，209。由這些數(shù)被ll除的商必須是完全平方數(shù)知，只有704符合。故此求的數(shù)是7744(即a=7，b=4)。,,,,,10、一位老師告訴A，B，C，D，E五位學(xué)生。一個(gè)三位數(shù)N。之后有以下的對(duì)話出現(xiàn)：學(xué)生A：這個(gè)數(shù)可以被27整除。學(xué)生B：這個(gè)數(shù)可以被12整除。學(xué)生C：這個(gè)三位數(shù)的所有數(shù)字和為15。學(xué)生D：這個(gè)數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù)。學(xué)生E：這個(gè)數(shù)可以整除648

15、000。上述五個(gè)句子中，只有三句是真的。試求N。,324，108，216，432，864，540，900，144，576。由題意，首先可以肯定：(一)A、C中最多只有一個(gè)“真”。因?yàn)槟鼙?7整除的數(shù)的數(shù)字之和能被9整除，但15不能被9整除。(二)C、D中最多也只有一個(gè)“真”。因?yàn)橥耆椒綌?shù)中的三位數(shù)的數(shù)字之和不可能為15。(三)A、D、E不可能全“真”。因?yàn)椋鬉、D都“真”了，則N必含34，N就不能整除648000=26&#

16、183;33·53，即E“不真”。(四)A、D、E中最少有一個(gè) “真”。因?yàn)槿安徽妗辈缓项}中“有3句真”?，F(xiàn)根據(jù)(三)、(四)來(lái)分類(lèi)討論： ’,(1)若A、D“真”，E“不真”，則由(一)知，C“不真”，因而B(niǎo)一定“真”。此時(shí)，三位數(shù)N只能是22·34=324。(2)若A、E“真”，D“不真”，則由(一)知，C“不真”，因而B(niǎo)一定“真”。此時(shí)，三位數(shù)N只能是22·33=108，23·33=

17、216，24·33=432，25·33=864，22·33·5=540。(3)若D、E“真”，A“不真”，則由(二)知，C“不真”，因而B(niǎo)一定“真”。此時(shí)，三位數(shù)N只能是22·32·52=900，24·32=144，26·32=576。(4)若A“真”，D、E“不真”，則由(一)知，C“不真”，這樣就有3個(gè)“不真”，不合題意。(5)若D“真”，A、E“

18、不真”，則由(二)知，c“不真”，也不合題意。(6)若E“真”，A、D“不真”，考慮E、B“真”的三位數(shù)，有23·3·5=120，22·32·5=180，23·32·52=600，23·32·5=240，24·32·5=720，25·32=288等等，它們都不合C(即C“不真”)，所以，此時(shí)沒(méi)有三位數(shù)N合題意。綜上知，所求的

19、N是324，108，216，432，864，540，900，144，576。,個(gè)人競(jìng)賽試卷,1、化簡(jiǎn)(1- )(1- )(1- )…(1- )。,,,,,2、某校有20位教師。其中有10位教師教數(shù)學(xué)，8位教師教語(yǔ)文，6位教師教自然。已知有2位教師同時(shí)教數(shù)學(xué)和語(yǔ)文，但沒(méi)有教師同時(shí)教語(yǔ)文和自然。試問(wèn)：(1)有多少位教師同時(shí)教數(shù)學(xué)和自然?(2)有多少位教師只教數(shù)學(xué)?,(1)2位；(2)6位。 因(10+8-2)+6=22

20、>20，22-20=2，所以同時(shí)教數(shù)學(xué)和自然的教師有2位。只教數(shù)學(xué)的教師有l(wèi)0-2-2=6(位)。,3、如果x3=1999，y2=1999，其中x，y>0。試問(wèn)介于x與y之間共有多少個(gè)整數(shù)?,32個(gè)。 因123=1728，133=2197，442=1936，452=2025，所以12<x<13，44<y<45。介于x與y之間的整數(shù)有13，14，15，…，44，共32個(gè)。,4、如果有一個(gè)九位數(shù)

21、 能被72整除，試求A、B兩數(shù)的差(大減小)。,,1。 72=8×9，由題意知， 能被8整除，則B=2。又A+B+(1+9+9+9+3+1+1)能被9整除，則A+B+6能被9整除。再由B=2知，A=1。2-l=1。,,5、某數(shù)N能被90、98和882整除，但不能被50、270、686和1764整除。又知N是9261000的約數(shù)。試求N的值。,4410。 因90=2×32×5，98

22、=2×72，882=2×32×72，則90，98，882的最小公倍數(shù)是2×32×5×72=4410，由題意知，N=2×32×5×72·M，其中M為自然數(shù)。又50=2×52，270=2×33×5，686=2×73，1764=22×32×72，9261000=23×33&#

23、215;53×73，要N不能被50，270，686，1764整除，且是9261000的約數(shù)，M只能取為1。故N=4410。,6、如右圖，在△ABC中，D點(diǎn)為AB的中點(diǎn)，E點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)為BE的中點(diǎn)，△DCF的面積為63平方厘米。試求△ABC的面積。,168厘米2。(63÷ )×2=168(厘米2)。,,7、某數(shù)恰好有8個(gè)約數(shù)，已知35和77為其中的二個(gè)。試求此數(shù)。,385。因35=5×

24、7，77=7×11，8=2×2×2，所以此數(shù)是5×7×11=385。,8、沒(méi)AXXX與XXXB為兩個(gè)四位數(shù)。其中A，B，X為互不相同的數(shù)字。 若 ，試求A，B，X的值。,,A=2，B=5，X=6。將 依次化為 , 5000A+555X=2220X+2B，5000A=1665X+2B。由此式知，X必為偶數(shù)，且X≥4，即X只可能為

25、4，6，8，因A、B為數(shù)字，且A≠0，試算知，只有X=6時(shí)，有A=2，B=5符合上式。故A=2，B=5，X=6。,,,9、計(jì)算19992-(19982-(19972-(19962-(…-(22-l2)…))))。,1999000。 從內(nèi)到外依次去括號(hào)，則有原式=19992-19982+19972-19962+…+52-42+32-22+12。=(1999+1998)(1999-1998)+(1997+1996)(1997-19

26、96)+…+(5+4)(5-4)+(3+2)(3-2)+1=1999+1998+1997+1996+…+5+4+3+2+l=(1999+1)×1999÷2-1999000。注：此處利用了公式a2-b2=(a+b)(a-b)。,10、如右圖，PQRS為長(zhǎng)方形桌子，長(zhǎng)是5個(gè)單位，寬是3個(gè)單位。今有一球自P點(diǎn)沿著PQ成45o向SR方向滾動(dòng)，當(dāng)球碰到SR邊反彈后，沿著與SR成45o方向QR方向滾動(dòng)。如果此球依此方式繼續(xù)

27、滾動(dòng)，每次碰到邊再反彈后均與此邊保持45o的方向前進(jìn)。試問(wèn)此球碰到R點(diǎn)之前共反彈多少次?,6次。如下圖所示。球由P A B C D E F R。,,,,,,,,11、甲乙二人玩游戲，他們輪流從一堆有1999個(gè)硬幣中取硬幣，規(guī)定每人每次只能取1個(gè)或2個(gè)或3個(gè)，取到最后一個(gè)硬幣者算輸。今由甲先取硬幣，試問(wèn)甲在第一次必須取多少個(gè)硬幣，才能保證他一定會(huì)贏?,2。 (199

28、9-1)÷4=499……2，甲第1次取2枚硬幣，以后“每輪”乙先取甲后取。在每輪中，甲取的硬幣個(gè)數(shù)=(4-乙取的硬幣個(gè)數(shù))，這樣到499輪后，就只剩下1枚硬幣，乙必取到。,12、試求由l，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字不重復(fù)所構(gòu)成的所有不同的五位數(shù)之和。,3999960。 由1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)不重復(fù)所構(gòu)成的所有不同的五位數(shù)共有5×4×3×2×1=120(個(gè))，其中1，2，3，4，5在最

29、高位的各24個(gè)，所以這120個(gè)數(shù)中最高位的數(shù)字之和是(1+2+3+4+5)×24=360。同理，其他位的數(shù)字之和也是360。故所求的所有五位數(shù)之和為360×(10000+1000+100+10+1)=3999960。,13、從一組數(shù){4，7，10，13，…，46}中每次任取三個(gè)不相同的數(shù)相加得到一個(gè)整數(shù)，這樣的整數(shù)互不相同的有多少個(gè)?,37個(gè)。 因4，7，10，13，…，46中每個(gè)數(shù)都具有3m+1形式(m為自然數(shù))

30、，所以任意三數(shù)的和具有3n形式(n為自然數(shù))，其中最小的是4+7+l0=21，最大的是40+43+46=129。故所求的互不相同的整數(shù)是21，24，27，…，129共37個(gè)(由129=3(n-1)+21得n=37)。,14、五個(gè)圓(如右圖所示)連接在一起，用三種不同的顏色給圓涂色，每個(gè)圓涂一種顏色，相鄰的兩個(gè)圓(我們把一條線段相連的圓視為相鄰的兩個(gè)圓)不能涂同一種顏色。試問(wèn)共有多少種不同涂法?,36種。 因三線交點(diǎn)的圓(圖中左下角處

31、)涂紅、黃、藍(lán)三種不同顏色時(shí)，每一種其他圓都有12種合題意的不同涂法，所以共有3×12=36(種)。,15、有五位婦女圍坐在一圓形桌子就餐，姓A的坐在姓B的與姓C的中間，名u的坐在名x和姓D的之間，姓B的坐在名u的和名y的之間，姓E的坐在名z的左邊，姓C的坐在名z的右邊(其中A，B，c，D，E為姓，x，y，z，u為名)。請(qǐng)指出名x，y，z，u的姓分別是A，B，C，D，E中哪一位?,名x姓B，名y，姓A，名z姓D，名u姓E。