1、第四章 導(dǎo)熱數(shù)值解法基礎(chǔ),本章研究的目的——利用計算機(jī)求解難以用分析解求解的導(dǎo)熱問題,基本思想——把原來在時間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場，用有限個離散點(diǎn)的值的集合來代替，通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，來獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值。,物理問題的數(shù)值求解過程,研究手段——有限差分法,數(shù)值法求解物理問題的計算機(jī)原理：,,,,,,,,節(jié)點(diǎn)方程,計算結(jié)果,運(yùn)算中樞,臨時存貯單元,輸入設(shè)備,輸出設(shè)備,,決

2、定待運(yùn)算數(shù)據(jù)的存貯量,,決定數(shù)據(jù)的運(yùn)算速度,存貯器,,,,第一節(jié) 建立離散方程的方法,一、區(qū)域和時間的離散化（以二維導(dǎo)熱為例）,網(wǎng)格,內(nèi)節(jié)點(diǎn),邊界節(jié)點(diǎn),微元體,,,,,,,空間步長：Δx，Δy 時間步長： Δτ,網(wǎng)格細(xì)密程度對求解過程的影響,,,細(xì)密,稀疏,,,結(jié)果更精確，但運(yùn)算時間長,運(yùn)算時間短，但結(jié)果誤差較大,,,,網(wǎng)格細(xì)密程度應(yīng)合理選擇,二、建立離散方程的方法,用節(jié)點(diǎn)（i,j）的溫度來表示節(jié)點(diǎn)（i+1,j

3、）的溫度：,1.泰勒級數(shù)展開法,——即將,轉(zhuǎn)換為差分格式,移項(xiàng)整理，得：,——向前差分,0（Δx）——截斷誤差,用節(jié)點(diǎn)（i,j）的溫度來表示節(jié)點(diǎn)（i-1,j）的溫度：,移項(xiàng)整理，得：,——向后差分,（1）式減（2）式，得：,——中心差分,（1）式加（2）式，得：,同理可得：,二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱離散方程：,正方形節(jié)點(diǎn)時， Δx＝Δy，離散方程為 ：,2.熱平衡法——對每個節(jié)點(diǎn)所代表的元體用傅立葉定律直接寫出其能量守恒表達(dá)式,由微元體四個方向?qū)?/p>

4、入微元體的熱量分別為：,根據(jù)能量守恒定律：,將四式相加并除以ΔxΔy，即得到 ：,,與泰勒級數(shù)展開法結(jié)果完全相同,第二節(jié) 穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值計算,一、內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立常物性、無內(nèi)熱源的二維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中，均分網(wǎng)格的表達(dá)式：,對于每個內(nèi)節(jié)點(diǎn)，差分方程均可寫出，但尚需補(bǔ)充邊界節(jié)點(diǎn)的差分方程，才能得到描述整個導(dǎo)熱問題的完整方程組。由于泰勒級數(shù)展開法對復(fù)雜情況的處理存在困難，邊界節(jié)點(diǎn)差分方程一般用熱平衡法來建立。,二、邊界節(jié)點(diǎn)離散

5、方程的建立——以右邊界為例,邊界,1.第一類邊界條件：,2.第二類邊界條件：,Δx＝Δy時簡化為：,絕熱邊界：,3.第三類邊界條件：,Δx＝Δy時簡化為：,其他情況的節(jié)點(diǎn)方程——見教材表4－1,外拐角與內(nèi)拐角節(jié)點(diǎn),對流邊界內(nèi)部拐角節(jié)點(diǎn)熱平衡：,節(jié)點(diǎn)方程式推導(dǎo)實(shí)例——對流邊界外部拐角節(jié)點(diǎn),,,Δx＝Δy時簡化為：,,數(shù)值導(dǎo)熱離散方程組＝內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程＋邊界節(jié)點(diǎn)離散方程,三、節(jié)點(diǎn)離散方程組的求解——迭代法,迭代法的原理,,離散方程組

6、的求解方法,,消元法——方程過多時計算機(jī)內(nèi)存不足,迭代法,假定初值,根據(jù)假定的初值求新值，并重復(fù)此步驟若干次,,,兩次計算值足夠接近，認(rèn)為達(dá)到真實(shí)值,簡單迭代法——每次迭代時使用上次迭代的結(jié)果,ε ——允許誤差,簡單迭代法的缺點(diǎn)——由于每次迭代中使用與真實(shí)值偏差較大的上次迭代的舊值，使運(yùn)算過程接近真實(shí)值的時間增加,高斯－賽德爾迭代法——將本次迭代的最新結(jié)果立刻代入本次迭代過程計算其他未知值,高斯－賽德爾迭代法的優(yōu)點(diǎn)——由于每

7、次迭代中使用與真實(shí)值偏差較小的本次迭代的新值，使運(yùn)算過程接近真實(shí)值的時間縮短,,第三節(jié) 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的數(shù)值計算,一、顯式差分格式,研究對象——一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題,一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程：,移項(xiàng)整理后得到：,優(yōu)點(diǎn)——可根據(jù)kΔτ時刻溫度分布直接計算(k+1)Δτ時刻溫度分布,,缺點(diǎn)——選擇Δx和 Δτ時必須滿足穩(wěn)定性條件,或,二、隱式差分格式,一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程：,或可寫成：,,節(jié)點(diǎn)(i,j)處新值依賴于相鄰節(jié)點(diǎn)新值，

8、未知值間相互耦合，方程組必須聯(lián)立求解,優(yōu)點(diǎn)——無條件穩(wěn)定,缺點(diǎn)——不可根據(jù)kΔτ時刻溫度分布直接計算(k+1)Δτ時刻溫度分布,第四節(jié) 常用算法語言和計算軟件簡介,一、常用算法語言,1.FORTRAN語言——Formula Translation，數(shù)值計算領(lǐng)域所使用的主要語言。,2.C語言——將高級語言的基本結(jié)構(gòu)和語句與低級語言的對地址操作結(jié)合起來的應(yīng)用程序設(shè)計語言。,3.C＋＋—— C plus plus，C語言的增強(qiáng)版，目前