1、問題2:從a,b,c,d 這4個(gè)字母中,每次取出3個(gè)按順序排成一列，共有多少種不同的排法？,4種 × 3種 × 2種 = 24 種,理論分析,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào) 表示.,例2：從15支不同的足球隊(duì)中任取2支，然后按主客場(chǎng)的順序排成一列，求一共有多少種不同的排列方法?,排列數(shù)公式：,2)全排列數(shù):,簡(jiǎn)寫

2、為:,3)選排列數(shù)簡(jiǎn)寫為:,全排列：n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列.,1,2,5040,720,120,6,24,例3.1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各一本，共有多少種不同的送法？ 2)有5種不同的書，若要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？,例4.某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任掛一面、二面或三面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信

3、號(hào)？,例5.用0到9這十個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,例6.6個(gè)隊(duì)員排成一列進(jìn)行操練，其中新隊(duì)員甲不能站排頭，也不能站排尾，問有多少種不同的站法？,分析1：要使甲不在排頭和排尾，可先讓甲在中間4個(gè)位置中任選1個(gè)位置；然后對(duì)其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列.,分析2：由于甲不站排頭和排尾，這兩個(gè)位置只能在其余5個(gè)人中，先選2個(gè)人去站；對(duì)于中間的四個(gè)位置，連同甲在內(nèi)4個(gè)人去站．,分析3：若對(duì)甲不限制，包含三種情況：(1)甲在

4、排頭；(2)甲在排尾；(3)甲不在排頭，也不在排尾.從總數(shù)中減去甲在排頭和甲在排尾這兩種情況.,組合,4.組合數(shù)公式:,復(fù)習(xí),組合數(shù)計(jì)算公式,組合數(shù)性質(zhì)1：,組合數(shù)性質(zhì)2：,一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。,排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別：,1、都是從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素，且m≤n,2、有序問題是排列，無序問題是組合。,3、同一組合只要元素完全相同。,從n個(gè)不同的元素

5、中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。用符號(hào) 表示。,常用的組合數(shù)性質(zhì)公式還有：,補(bǔ)充,更多資源xiti123.taobao.com,說明：,2、 為了使性質(zhì)1在m＝n時(shí)也能成立，規(guī)定,1、為簡(jiǎn)化計(jì)算，當(dāng)m＞ 時(shí)，通常將計(jì)算 改為計(jì)算,1、組合數(shù)性質(zhì)1：,4、練習(xí)：計(jì)算,2、組合數(shù)性質(zhì)2：,證明：,例題講解：,例1、計(jì)算,例1 學(xué)校組織老師學(xué)生一起看電影，同一排電影票12張

6、。8個(gè)學(xué)生，4個(gè)老師，要求老師在學(xué)生之間，且老師互不相鄰，共有多少種不同的坐法？,解 先排學(xué)生共有 種排法,然后把老師插入學(xué)生之間的空檔，共有7個(gè)空檔可插,選其中的4個(gè)空檔,共有 種選法.根據(jù)乘法原理,共有的不同坐法為 種.,結(jié)論1 插空法:對(duì)于某兩個(gè)元素或者幾個(gè)元素要求不相鄰的問題,可以用插入法.即先排好沒有限制條件的元素,然后將有限制條件的元素按要求插入排好元素的空檔之中即可.,分析 此題涉及到的

7、是不相鄰問題,并且是對(duì)老師有特殊的要求,因此老師是特殊元素,在解決時(shí)就要特殊對(duì)待.所涉及問題是排列問題.,,,,,例2 5個(gè)男生3個(gè)女生排成一排,3個(gè)女生要排在一起,有多少種不同的排法?,解 因?yàn)榕旁谝黄?所以可以將3個(gè)女生看成是一個(gè)人,與5個(gè)男生作全排列,有 種排法,其中女生內(nèi)部也有 種排法,根據(jù)乘法原理,共有 種不同的排法.,結(jié)論2 捆綁法:要求某幾個(gè)元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將

8、需要相鄰的元素合并為一個(gè)元素,再與其它元素一起作排列,同時(shí)要注意合并元素內(nèi)部也可以作排列.,分析 此題涉及到的是排隊(duì)問題,對(duì)于女生有特殊的限制,因此,女生是特殊元素,并且要求她們要相鄰,因此可以將她們看成是一個(gè)元素來解決問題.,,,,,例3 在高二年級(jí)中的8個(gè)班,組織一個(gè)12個(gè)人的年級(jí)學(xué)生分會(huì),每班要求至少1人,名額分配方案有多少種?,解 此題可以轉(zhuǎn)化為:將12個(gè)相同的白球分成8份,有多少種不同的分法問題,因此須把這12個(gè)白球排

9、成一排,在11個(gè)空檔中放上7個(gè)相同的黑球,每個(gè)空檔最多放一個(gè),即可將白球分成8份,顯然有 種不同的放法,所以名額分配方案有 種.,結(jié)論3 轉(zhuǎn)化法（插拔法）:對(duì)于某些較復(fù)雜的、或較抽象的排列組合問題，可以利用轉(zhuǎn)化思想,將其化歸為簡(jiǎn)單的、具體的問題來求解.,分析 此題若直接去考慮的話,就會(huì)比較復(fù)雜.但如果我們將其轉(zhuǎn)換為等價(jià)的其他問題,就會(huì)顯得比較清楚,方法簡(jiǎn)單,結(jié)果容易理解.,,,,,例4 袋中有不同的5分硬幣23個(gè),不同的1

10、角硬幣10個(gè),如果從袋中取出2元錢,有多少種取法?,解 把所有的硬幣全部取出來,將得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所以剩下0.15元即剩下3個(gè)5分或1個(gè)5分與1個(gè)1角,所以共有 種取法.,結(jié)論4 剩余法:在組合問題中,有多少取法,就有多少種剩法,他們是一一對(duì)應(yīng)的,因此,當(dāng)求取法困難時(shí),可轉(zhuǎn)化為求剩法.,分析 此

11、題是一個(gè)組合問題,若是直接考慮取錢的問題的話,情況比較多,也顯得比較凌亂,難以理出頭緒來.但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話,就會(huì)很容易解決問題.,,,,,例5 期中安排考試科目9門,語(yǔ)文要在數(shù)學(xué)之前考,有多少種不同的安排順序?,解 不加任何限制條件,整個(gè)排法有 種,“語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考”,與“數(shù)學(xué)安排在語(yǔ)文之前考”的排法是相等的,所以語(yǔ)文安排在數(shù)學(xué)之前考的排法共有 種.,結(jié)論5 對(duì)等法:在有些題目中,它的限制條件

12、的肯定與否定是對(duì)等的,各占全體的二分之一.在求解中只要求出全體,就可以得到所求.,分析 對(duì)于任何一個(gè)排列問題,就其中的兩個(gè)元素來講的話,他們的排列順序只有兩種情況,并且在整個(gè)排列中,他們出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的,因此要求其中的某一種情況,能夠得到全體,那么問題就可以解決了.并且也避免了問題的復(fù)雜性.,,,,,例6 某班里有43位同學(xué),從中任抽5人,正、副班長(zhǎng)、團(tuán)支部書記至少有一人在內(nèi)的抽法有多少種?,解 43人中任抽5人的方法有 種,正

13、副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記都不在內(nèi)的抽法有 種,所以正副班長(zhǎng),團(tuán)支部書記至少有1人在內(nèi)的抽法有 種.,結(jié)論6 排除法:有些問題,正面直接考慮比較復(fù)雜,而它的反面往往比較簡(jiǎn)捷,可以先求出它的反面,再?gòu)恼w中排除.,分析 此題若是直接去考慮的話,就要將問題分成好幾種情況,這樣解題的話,容易造成各種情況遺漏或者重復(fù)的情況.而如果從此問題相反的方面去考慮的話,不但容易理解,而且在計(jì)算中也是非常的簡(jiǎn)便.這樣就可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程.,,,,,練

14、習(xí)： 有12個(gè)人，按照下列要求分配，求不同的分法種數(shù)． （1）分為兩組，一組7人，一組5人； （2）分為甲、乙兩組，甲組7人，乙組5人； （3）分為甲、乙兩組，一組7人，一組5人； （4）分為甲、乙兩組，每組6人； （5）分為兩組，每組6人； （6）分為三組，一組5人，一組4人，一組3人； （7）分為甲、乙、丙三組，甲組5人，乙組4人，丙組3人； （8）分為甲、乙、丙三組，一組5人，一組4人，一組3人；

15、 （9）分為甲、乙、丙三組，每組4人； （10）分為三組，每組4人．,,,,,一.特殊元素和特殊位置優(yōu)先策略,例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù).,解:由于末位和首位有特殊要求,應(yīng)該優(yōu)先安排,以免不合要求的元素占了這兩個(gè)位置.,先排末位共有___,然后排首位共有___,最后排其它位置共有___,,,,,二.相鄰元素捆綁策略,例2.7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.,,,,

16、解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，同時(shí)丙丁也看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排.,第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個(gè)元素中間包含首尾兩個(gè)空位共有種 不同的方法.,三.不相鄰問題插空策略,例3.一個(gè)晚會(huì)的節(jié)目有4個(gè)舞蹈,2個(gè)相聲,3個(gè)獨(dú)唱,舞蹈節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng),則節(jié)目的出場(chǎng)順序有多少種？,解:分兩步進(jìn)行第一步排2個(gè)相聲和3個(gè)獨(dú)唱共 有 種，,由分步計(jì)數(shù)原理,節(jié)目的不同

17、順序共有 種,,,,,,,四.定序問題倍縮空位插入策略,例4.7人排隊(duì),其中甲乙丙3人順序一定,共有多少不同的排法?,1倍縮法：對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問題,可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)，則共有不同排法種數(shù)是：,2空位法：設(shè)想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有 種方法，其余的三個(gè)位置甲乙丙共有1種坐法，則共有 種方法.,3插入法：先排甲乙丙三

18、個(gè)人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有4*5*6*7方法.,五.重排問題求冪策略,例5.把6名實(shí)習(xí)生分配到7個(gè)車間實(shí)習(xí),共有多少種不同的分法？,解:完成此事共分六步:把第一名實(shí)習(xí)生分配到車間有7種分法.,把第二名實(shí)習(xí)生分配到車間也有7種分法，,依此類推,由分步計(jì)數(shù)原理共有 種不同的排法.,六.環(huán)排問題線排策略,例6. 5人圍桌而坐,共有多少種坐法?,解：圍桌而坐與坐成一排的不同點(diǎn)在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人A

19、并從此位置把圓形展成直線其余4人共有 種排法即（5-1)！.,,七.多排問題直排策略,例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丁在后排,共有多少排法?,解:8人排前后兩排,相當(dāng)于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.,先在前4個(gè)位置排甲乙兩個(gè)特殊元素有____種,,其余的5人在5個(gè)位置任意排列有____種,則共有_________種.,再排后4個(gè)位置上的特殊元素有_____種,,八.排列組合混合問題先選后排策略,例

20、8.有5個(gè)不同的小球,裝入4個(gè)不同的盒內(nèi),每盒至少裝一個(gè)球,共有多少不同的裝法?,解:第一步從5個(gè)球中選出2個(gè)組成復(fù)合元共有__種方法.再把5個(gè)元素(包含一個(gè)復(fù)合元素)裝入4個(gè)不同的盒內(nèi)有___種方法.,根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理裝球的方法共有_____種方法.,九.小集團(tuán)問題先整體局部策略,例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)其中恰有兩個(gè)偶數(shù)夾1,５在兩個(gè)奇數(shù)之間,這樣的五位數(shù)有多少個(gè)？(答案好像有問題，你去問一下老師）,解：把

21、１,５,２,４當(dāng)作一個(gè)小集團(tuán)與３排隊(duì),共有____種排法，再排小集團(tuán)內(nèi)部共有_______種排法，由分步計(jì)數(shù)原理共有_______種排法.,十.元素相同問題隔板策略,例10.有10個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，在分給7個(gè)班，每班至少一個(gè),有多少種分配方案？,解：因?yàn)?0個(gè)名額沒有差別，把它們排成一排，相鄰名額之間形成９個(gè)空隙.,在９個(gè)空檔中選６個(gè)位置插個(gè)隔板，可把名額分成７份，對(duì)應(yīng)地分給７個(gè)班級(jí)，每一種插板方法對(duì)應(yīng)一種分法共有______種分法

22、.,,十一.正難則反總體淘汰策略,例11.從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字中取出三個(gè)數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù),不同的取法有多少種？(這個(gè)答案也有些問題，去問一下老師）,解：這問題中如果直接求不小于10的偶數(shù)很困難,可用總體淘汰法.,這十個(gè)數(shù)字中有5個(gè)偶數(shù)5個(gè)奇數(shù),所取的三個(gè)數(shù)含有3個(gè)偶數(shù)的取法有C53個(gè),只含有1個(gè)偶數(shù)的取法有C51C52個(gè).從而和為偶數(shù)的取法共有C53+ C51C52個(gè).,再淘汰和小于10的偶數(shù)

23、共9個(gè)（013,015,017,035,024，026,123,125,134,）（我覺得應(yīng)該是這個(gè),符合條件的取法共有C53+ C51C52-9.,十二.平均分組問題除法策略,例12.6本不同的書平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？,十三. 合理分類與分步策略,例13.在一次演唱會(huì)上共10名演員,其中8人能能唱歌,5人會(huì)跳舞,現(xiàn)要演出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目,有多少選派方法?,解：10演員中有5人只會(huì)唱歌，2人只會(huì)跳舞3人為全能演員

24、.,以只會(huì)唱歌的5人是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究.,十四.構(gòu)造模型策略,例14. 馬路上有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路燈,現(xiàn)要關(guān)掉其中的3盞,但不能關(guān)掉相鄰的2盞或3盞,也不能關(guān)掉兩端的2盞,求滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？,解：把此問題當(dāng)作一個(gè)排隊(duì)模型在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3個(gè)不亮的燈有_____種.,十五.實(shí)際操作窮舉策略,例15.設(shè)有編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)球和編號(hào)1,2,3,4,5的五個(gè)盒子,現(xiàn)將5個(gè)

25、球投入這五盒子內(nèi),要求每個(gè)盒子放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同,有多少投法?,利用實(shí)際操作法，如果剩下3,4,5號(hào)球和3,4,5號(hào)盒,3號(hào)球裝4號(hào)盒時(shí)，則4,5號(hào)球有只有1種裝法.,解：從5個(gè)球中取出2個(gè)與盒子對(duì)號(hào)有_____種,還剩下3球3盒序號(hào)不能對(duì)應(yīng)，,同理3號(hào)球裝5號(hào)盒時(shí),4,5號(hào)球有也只有1種裝法,由分步計(jì)數(shù)原理有2 種.,例16. 30030能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除?,分析：先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘

26、積形式30030=2×3×5×7×11×13依題意可知偶因數(shù)必先取2,再?gòu)钠溆?個(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積，所有的偶因數(shù)為：,十四.構(gòu)造模型策略,十七.化歸策略,例17.25人排成5×5方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的選法有多少種？,解：將這個(gè)問題退化成9人排成3×3方隊(duì),現(xiàn)從中選3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.這樣每

27、行必有1人從其中的一行中選取1人后,把這人所在的行列都劃掉，,如此繼續(xù)下去.從3×3方隊(duì)中選3人的方法有_________種.再?gòu)?×5方隊(duì)選出3×3方隊(duì)便可解決問題.,從5×5方隊(duì)中選取3行3列有_____選法所以從5×5方隊(duì)選不在同一行也不在同一列的3人有______________選法.,例18.某城市的街道，如圖所示，有7街是南北走向，有5街是東西走向，問從A走到B的捷有多少種？

28、,解決“允許重復(fù)排列問題”要注意區(qū)分兩類元素：一類元素可以重復(fù)，另一類不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.,例19.七名學(xué)生爭(zhēng)奪五項(xiàng)冠軍，每項(xiàng)冠軍只能由一人獲得，獲得冠軍的可能的種數(shù)有 .,分析：因同一學(xué)生可以同時(shí)奪得n項(xiàng)冠軍，故學(xué)生可重復(fù)排列，將七名學(xué)生看作7家“店”，五項(xiàng)冠軍看作5名“客”，每個(gè)“客”有7種住宿法，由乘法原理得75種.,十八.住店法策略,精品課件！