1、第1頁(yè)共9頁(yè)關(guān)于二次函數(shù)實(shí)根分布問(wèn)題的討論關(guān)于二次函數(shù)實(shí)根分布問(wèn)題的討論來(lái)章潤(rùn)重慶市巴蜀中學(xué)，重慶400013摘要：摘要：本文討論了二次函數(shù)的實(shí)根分布問(wèn)題。首先，零點(diǎn)存在性定理是解決實(shí)根分布問(wèn)題的首選；其次，二次函數(shù)的開(kāi)口方向、根的判別式、對(duì)稱(chēng)軸的位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、兩根之和與兩根?之積的正負(fù)這五個(gè)約束條件決定二次函數(shù)的實(shí)根分布；然后，舉例討論了復(fù)合型二次函數(shù)的實(shí)根分布問(wèn)題；最后文章舉例討論了其他類(lèi)型二次函數(shù)的實(shí)根分布問(wèn)題。關(guān)鍵

2、詞鍵詞：二次函數(shù)，實(shí)根分布，復(fù)合型二次函數(shù)二次函數(shù)函數(shù)的實(shí)根分布問(wèn)題指的是已知系數(shù)含有參數(shù)的二次函數(shù)或者可化為二次函數(shù)的實(shí)根分布情況，通過(guò)討論其系數(shù)研究參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題。它是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，在這篇文章中，我們就一起來(lái)討論二次函數(shù)實(shí)根分布問(wèn)題。為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們必須通過(guò)分類(lèi)討論，從具體問(wèn)題中給出這個(gè)充分條件，然后對(duì)此加以證明，并舉實(shí)例驗(yàn)證之。1.零點(diǎn)存在性定理零點(diǎn)存在性定理1.1零點(diǎn)存在性定理零點(diǎn)存在性定理[1]

3、：一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不??xfy???ba，斷的一條曲線(xiàn)，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間[，b]內(nèi)有零點(diǎn)，即????0??bfaf??xfy?a存在，使得，這個(gè)也就是的根我們不妨把這一結(jié)論稱(chēng)為零??bac???0?cfc??0?xf點(diǎn)存在性定理1.2零點(diǎn)存在性定理的證明：零點(diǎn)存在性定理的證明：我們采用高中的“二分法”來(lái)證明這個(gè)命題，由于函數(shù)在區(qū)間[，b]上有??xfy?a，則在區(qū)間上有。????0??bfaf，，記bbaa?

4、?11??xfy???11ba，????011??bfaf取區(qū)間的中點(diǎn)，若，則為所求；若??11ba，211ba?0211????????baf211bac??，取，則函數(shù)在區(qū)間上有??02111?????????afbaf211212babaa???，??22ba，，否則取，則函數(shù)在區(qū)間上有????022??bfaf121122abbaa???，??22ba，……????022??bfaf第3頁(yè)共9頁(yè)數(shù)，也決定這條拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

5、，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)根，x0??圖像與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有兩個(gè)相同的實(shí)根，圖像與軸只有一x0??x個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，圖像與軸無(wú)交點(diǎn)。二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方0??x程是一條平行于軸的直線(xiàn)，在這條直線(xiàn)的兩側(cè)二次函數(shù)具有相反的單調(diào)性。abx2??y因此，開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸方程決定二次函數(shù)的形狀，也決定二次函數(shù)的單調(diào)abx2??性。如果二次函數(shù)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根或者有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，設(shè)其為，則它２１、xx們的兩根

6、之積與兩根之和由二次函數(shù)的系數(shù)（包括二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)ab項(xiàng)）決定，。c????????????acxxabxx2121系為它們之間的根與系數(shù)關(guān)二次函數(shù)的實(shí)根分布問(wèn)題其實(shí)就是研究函數(shù)兩根的取值范圍問(wèn)題，通過(guò)討論21xx二次函數(shù)的根的判別式可確定根的個(gè)數(shù)，再討論二次函數(shù)開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸的位置?確定二次函數(shù)圖像的行狀，最后討論二次函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、兩根之和與兩根之積的正負(fù)確定根的分布情況。也就是說(shuō)通過(guò)討論二次函數(shù)的開(kāi)口方

7、向、根的判別式、對(duì)稱(chēng)軸的位置、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)、兩根之和與兩根之積的正負(fù)這五個(gè)?約束條件，可以確定二次函數(shù)的實(shí)根的個(gè)數(shù)及分布區(qū)間。通過(guò)觀(guān)察我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸方程和兩根之和的表達(dá)式abx2??abxx???21有很大的相似之處，這提示我們?nèi)ジM(jìn)一步去研究二者的聯(lián)系。我們都知道二次函數(shù)的兩根是關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)，它們的和應(yīng)該是對(duì)稱(chēng)軸的2倍，因而二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程和兩根之和表達(dá)式是等價(jià)的，我們?cè)谟懻摰臅r(shí)候只用討論