1、第7章緊致性緊致性7.17.1緊致空間緊致空間本節(jié)重點(diǎn)：掌握緊致子集的定義及判斷一個子集是緊致子集的方法（這些方法哪些是充要條件）；掌握緊致性是否是連續(xù)映射可保留的，是否是可遺傳的、有限可積的在5.3中，我們用關(guān)于開覆蓋和子覆蓋的術(shù)語刻畫了一類拓?fù)淇臻g，即Lindeloff空間現(xiàn)在來仿照這種做法，即將Lindeloff空間定義中的“可數(shù)子覆蓋”換成“有限子覆蓋”，以定義緊致空間讀者在數(shù)學(xué)分析中早已見過的Heine－Bel定理斷言：實(shí)數(shù)空

2、間R的任何一個子集為有界閉集的充分必要條件是它的每一個開覆蓋都有一個有限子覆蓋（在7.3中我們將要推廣這個定理）因此我們現(xiàn)在作的事也應(yīng)當(dāng)在意料之中定義7.1.1設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g如果X的每一個開覆蓋有一個有限子覆蓋，則稱拓?fù)淇臻gX是一個緊致空間明顯地，每一個緊致空間都是Lindeloff空間但反之不然，例如包含著無限但可數(shù)個點(diǎn)的離散空間是一個Lindeloff空間，但它不是一個緊致空間例7.1.1實(shí)數(shù)空間R不是一個緊致空間這是因?yàn)槿绻?/p>

3、們設(shè)A＝（－n，n）R|b∈Z則A的任何一個有限子族由于它的并為(maxmax)所以不是R的一個子覆蓋因此R的開覆蓋A沒有任何一個有限子覆蓋定義7.1.2設(shè)X是一個拓?fù)淇臻g，Y是X中的一個子集如果Y作為X的子空間是一個緊致空間，則稱Y是拓?fù)淇臻gX的一個緊致子集根據(jù)定義，拓?fù)淇臻gX中的一個子集Y是X的緊致子集意味著每一個由子空間Y中的開集構(gòu)成的Y的開覆蓋有一個有限子覆蓋，這并不明顯地意味著由X中的開集構(gòu)成的每一個Y的覆蓋都有有限子覆蓋所以

4、陳述以下定理是必要的所以A是X的一個開覆蓋于是A有一個有限子覆蓋，設(shè)為從而這說明F不具有有限交性質(zhì)矛盾“”，設(shè)X中的每一個具有有限交性質(zhì)的閉集族都有非空的交為證明X是一個緊致空間，設(shè)A是X的一個開覆蓋我們需要證明A有一個有限子覆蓋如果A=，則，這蘊(yùn)涵X=以及A的每一個子族都是X的覆蓋以下假定A≠此時F=|A∈A便是X中的一個非空閉集族，并且因此，它不具有有限交性質(zhì)也就是說，它有一個有限子族其交為空集設(shè)F的這個有限子族為，則是X的一個有限

5、子覆蓋如果B是緊致空間X的一個基，那么由B中的元素構(gòu)成的X的一個覆蓋當(dāng)然是一個開覆蓋，因此有有限子覆蓋下述定理指出，為驗(yàn)證拓?fù)淇臻g的緊致性，只要驗(yàn)證由它的某一個基中的元素組成的覆蓋有有限子覆蓋定理定理7.1.37.1.3設(shè)BB是拓?fù)淇臻g是拓?fù)淇臻gX的一個基，并且的一個基，并且X的由的由BB中的元素構(gòu)成的每一個中的元素構(gòu)成的每一個覆蓋有一個有限子覆蓋則覆蓋有一個有限子覆蓋則X是一個緊致空間是一個緊致空間證明A設(shè)是X的一個開覆蓋對于每一個A