1、2024/4/2,1,第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,§3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程,§3-2 集總參數(shù)法,§3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解,§3-4 半無限大物體內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,§3-5 二維及三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,2024/4/2,2,第三章 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 Unsteady Heat Conduction,定義：導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場隨時間變化的導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。特點：溫度隨時間變化，熱流也隨時間變化。

2、自然界和工程上許多導(dǎo)熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t = f(?)例如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機等裝置起動、停機、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度,2024/4/2,3,非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：周期性和非周期性（瞬態(tài)導(dǎo)熱）周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在周期性變化邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，物體溫度按一定的周期發(fā)生變化。非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：在瞬間變化的邊界條件下發(fā)生的導(dǎo)熱過程，物體的溫度隨時間不斷地升高（加熱過程）或

3、降低（冷卻過程），在經(jīng)歷相當(dāng)長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡,2024/4/2,4,§3-1 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程1 溫度分布一平壁初始溫度為t0，令其左側(cè)表面的溫度突然升高到t1，右側(cè)保持溫度為t0首先，物體緊挨高溫表面的部分溫度上升很快，經(jīng)過一定時間后內(nèi)部區(qū)域溫度依次變化，最終整體溫度分布保持恒定，當(dāng)?為常數(shù)時，最終溫度分布為直線。,2024/4/2,5,(a)? = ?1 (b) ?

4、= ?2 (c) ? = ?3 (d) ? = ?4非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的不同時刻物體的溫度分布,2024/4/2,6,2 兩個階段：非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）、正規(guī)狀況階段非正規(guī)狀況階段（初始狀況階段）：在? = ?3時刻之前的階段，物體內(nèi)的溫度分布受初始溫度分布的影響較大。必須用無窮級數(shù)描述,正規(guī)狀況階段：在? = ?3時刻之后，初始溫度分布的影響已經(jīng)消失，物體內(nèi)的溫度分布主要受邊界條件的影響，可以用初等函數(shù)描述。

5、,2024/4/2,7,3 熱量變化：與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的另一區(qū)別：由于有溫度變化要積聚或消耗熱量，同一時刻流過不同界面的熱流量是不同的。通過截面A的熱流量是從最高值不斷減小，在其它各截面的溫度開始升高之前通過此截面的熱流量是零，溫度開始升高之后，熱流量才開始增加。,2024/4/2,8,4 邊界條件對溫度分布的影響,環(huán)境（邊界條件）對系統(tǒng)溫度分布的影響是很顯著的,這里以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程（也就是大平板的加熱或冷卻過程）為例來加以說明。圖表示

6、一個大平板的加熱過程，并畫出在某一時刻的三種不同邊界情況的溫度分布曲線（a）、（b）、（c）,2024/4/2,9,這實質(zhì)上是表明在第三類邊界條件下可能的三種溫度分布。,按照傳熱關(guān)系式作一個近似的分析。,2024/4/2,10,曲線（a）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻 遠(yuǎn)大于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻 , 即,從曲線上看，物體內(nèi)部的溫度幾乎是均勻的，這也就說物體的溫度場僅僅是時間的函數(shù)，而與空間坐標(biāo)無關(guān)。我們稱這樣的非穩(wěn)

7、態(tài)導(dǎo)熱系統(tǒng)為集總參數(shù)系統(tǒng)（一個等溫系統(tǒng)或物體）。,2024/4/2,11,曲線（b）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻 相當(dāng)于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻 , 即,這也是正常的第三類邊界條件,2024/4/2,12,曲線（c）表示平板外環(huán)境的換熱熱阻 遠(yuǎn)小于平板內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻 , 即,從曲線上看，物體內(nèi)部溫度變化比較大，而環(huán)境與物體邊界幾乎無溫差，此時可用認(rèn)為 。那么，邊界條件就變成了第

8、一類邊界條件，即給定物體邊界上的溫度。,2024/4/2,13,t0,第三類邊界條件下物體被冷卻時的溫度分布,2024/4/2,14,把導(dǎo)熱熱阻與換熱熱阻相比可得到一個無因次的數(shù)，我們稱之為畢歐（Biot）數(shù)，即 那么，上述三種情況則對應(yīng)著Bi>1。,畢歐數(shù)是導(dǎo)熱分析中的一個重要的無因次準(zhǔn)則，它表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對比關(guān)系。,特征數(shù)：表征某一類物理現(xiàn)象或物理

9、過程特征的無量綱數(shù)，又叫準(zhǔn)則數(shù)。如Re, Bi。,2024/4/2,15,§3-2 集總參數(shù)法  (Lumped heat capacity method),1 定義,忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時， ，溫度分布只與時間有關(guān)，即 ，與空間位置無關(guān)，因此，也稱為零維問題。,2024/4/2,16,以下幾種情況Bi很小，可用集總參數(shù)法：（1）導(dǎo)熱系數(shù) 相當(dāng)

10、大；（2）幾何尺寸 很??；（3）表面換熱系數(shù)h很小。2 溫度分布,一個集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為?、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t?、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。,2024/4/2,17,引入過余溫度：,初始條件為：,能量守恒：單位時間物體熱力學(xué)能的變化量應(yīng)該等于物體表面與流體之間的對流換熱量,2024/4/2,18,積分得：,,指數(shù)可寫成：,是傅立葉數(shù),,,2024/4/2,19,無量綱熱阻,無

11、量綱時間,Biv越小，表示內(nèi)部熱阻小或外部熱阻大，則內(nèi)部溫度就越均勻，集總參數(shù)法的誤差就越小。Fo越大，熱擾動就能越深入傳播到物體內(nèi)部,物體各點地溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。,2024/4/2,20,物體中的溫度呈指數(shù)分布,方程中指數(shù)的量綱：,3 時間常數(shù),稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)，記為?c，也稱弛豫時間。,2024/4/2,21,如果導(dǎo)熱體的熱容量（ ?Vc ）小、換熱條件好（hA大），那么單位時間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時間

12、常數(shù) ( ?Vc / h A) 小,反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)。可見，同一物質(zhì)不同的形狀其時間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時間常數(shù)也是不相同。,2024/4/2,22,如圖所示，時間常數(shù)越小，物體的溫度變化就越快，物體就越迅速地接近周圍流體的溫度。這說明，時間常數(shù)反映物體對環(huán)境溫度變化響應(yīng)的快慢，時間常數(shù)小的響應(yīng)快，時間常數(shù)大的響應(yīng)慢。,用熱電偶測量流

13、體溫度，總是希望熱電偶的時間常數(shù)越小越好，時間常數(shù)越小，熱電偶越能迅速地反映流體的溫度變化，故熱電偶端部的接點總是做得很小,2024/4/2,23,當(dāng)物體冷卻或加熱過程所經(jīng)歷的時間等于其時間常數(shù)時，即 τ=τc，,τ=4τc，,工程上認(rèn)為?= 4τc時導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài),2024/4/2,24,4 瞬態(tài)熱流量,導(dǎo)熱體在時間 0~ ? 內(nèi)傳給流體的總熱量：,5 集總參數(shù)系統(tǒng)的判定,2024/4/2,25,如何去判定一個任意的系統(tǒng)是集總

14、參數(shù)系統(tǒng) ？,V/A具有長度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的特征尺寸。,為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng) ，M為形狀修正系數(shù)。,2024/4/2,26,厚度為2?的大平板,直徑為2r的長圓柱體,直徑為2r的球體,復(fù)雜形體,2024/4/2,27,例3-1：一溫度計水銀泡是圓柱形，長20mm，內(nèi)徑4mm，測量氣體溫度，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h=12.5W/(m2·K),若要溫度計的溫度與氣體的溫度之差小于初始過余溫度的10%，求測溫所需要的時間。水

15、銀 ?=10.36 W/(m·K), ? = 13110 kg/m3, c = 0.138 kJ/(kg·K).解：,2024/4/2,28,故可以用集總參數(shù)法。,由上式解得：? = 333 s = 5.6 min為了減小測溫誤差，測溫時間應(yīng)盡量加長。,2024/4/2,29,§3-3 一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分析解 Analytical Solution to One-Dimensional System

16、,當(dāng)幾何形狀及邊界條件都比較簡單時可獲得分析解。1 無限大的平板的分析解,2024/4/2,30,厚度 2? 的無限大平壁，?、a為已知常數(shù)；?=0時溫度為 t0;突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為 t?并保持不變；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對稱。中心為原點。,2024/4/2,31,導(dǎo)熱微分方程：,初始條件：,邊界條件： (第三類),2024/4/2,32,2024/4/2,33,采用分離變量法求解：令

17、,只能為常數(shù)：,只為?的函數(shù),只為x的函數(shù),2024/4/2,34,對 積分,得到,式中C1是積分常數(shù)，常數(shù)值D的正負(fù)可以從物理概念上加以確定。,當(dāng)時間τ趨于無窮大時，過程達(dá)到穩(wěn)態(tài)，物體達(dá)到周圍環(huán)境溫度，所以D必須為負(fù)值，否則物體溫度將無窮增大。,2024/4/2,35,令,則有 以及,以上兩式的通解為：,于是,2024/4/2,36,常數(shù)A、B和β可由邊界條件確定。,

18、(1)(2)(3),由邊界條件（2）得B=0,（a）,邊界條件（3）代入(b) 得 (c),（a）式成為 (b),2024/4/2,37,將 右端整理成：,注意，這里Bi數(shù)的尺度為平板厚度的一半。,顯然，β是兩曲線交點對應(yīng)的所有值。式(c)稱為特征方程。

19、β稱為特征值。分別為β1、 β2…… βn。,2024/4/2,38,….,將無窮個解疊加：,至此，我們獲得了無窮個特解：,2024/4/2,39,利用初始條件 求An,解的最后形式為：,令βnδ=μn,,2024/4/2,40,由初始條件可得：,上式兩邊乘于cos?mx，并在(0, ? )范圍內(nèi)對積分得：,考慮式(3-25)和三角函數(shù)的性質(zhì)，上式右端當(dāng)m ? n 時均為零，故得：,

20、2024/4/2,41,傅里葉準(zhǔn)則,— 無量綱距離,2024/4/2,42,定義無量綱的熱量,其中Qτ為0??時間內(nèi)傳導(dǎo)的熱量（內(nèi)熱能的改變量）,為?至無窮時間內(nèi)的總傳導(dǎo)熱量（物體內(nèi)能改變總量）,設(shè)從初始時刻至某一時刻?所傳遞的熱量為Q:,是?時刻物體的平均過余溫度。,2024/4/2,43,2 非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段當(dāng)Fo > 0.2時，采用級數(shù)的第一項計算偏差小于1%，故當(dāng)Fo > 0.2時:,其中?1?是第一特征值

21、，是Bi的函數(shù)。,2024/4/2,44,為了分析這時溫度分布的特點，將式取對數(shù)得：,式右邊第一項是時間? 的線性函數(shù)，? 的系數(shù)只與Bi有關(guān)，即只取決于第三類邊界條件、平壁的物性與幾何尺寸。右邊第二項只與Bi、x/? 有關(guān)，與時間? 無關(guān)。上式說明，當(dāng)Fo > 0.2,平壁內(nèi)所有各點過余溫度的對數(shù)都隨時間線性變化，并且變化曲線的斜率都相等,這一溫度變化階段稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀況階段。,2024/4/2,45,這時比值與?無

22、關(guān)，僅與幾何位置(x/?)及邊界條件(Bi數(shù))有關(guān)。即初始條件的影響已經(jīng)消失。無論初始分布如何，無量綱溫度都是一樣的。這是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的正規(guī)狀態(tài)或充分發(fā)展階段。,當(dāng)Fo > 0.2時任一點過余溫度與中心過余溫度之比為,2024/4/2,46,令x = ? 可以計算平壁表面溫度和中心溫度的比值。又由表3-1可知，當(dāng)Bi 0.95。即當(dāng)Bi < 0.1時，平壁表面溫度和中心溫度的差別小于5%，可以近似認(rèn)為整個平壁溫度是均勻的

23、。這就是3-2節(jié)集總參數(shù)法的界定值定為Bi < 0.1的原因。,2024/4/2,47,兩邊對時間求導(dǎo),上式左邊是過余溫度對時間的相對變化率，稱為冷卻率（或加熱率）。,上式說明，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱進(jìn)入正規(guī)狀況階段后，物體所有各點的冷卻率或加熱率都相同，且不隨時間而變化，其值僅取決于物體的物性參數(shù)、幾何形狀與尺寸以及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)。,2024/4/2,48,3 采用海斯勒（Heisler）圖計算,對于 Fo?0.2 時無限大平壁的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過

24、程，溫度場可按公式計算；也可用諾謨圖計算，其中用于確定溫度分布的圖線稱為海斯勒圖。,為平板中心的過余溫度,2024/4/2,49,2024/4/2,50,2024/4/2,51,無量綱的熱量,2024/4/2,52,如何利用線算圖,a）對于由時間求溫度的步驟為，計算Bi數(shù)、Fo數(shù)和x/δ ，從圖中查找θm/ θ0 和θ / θm ，計算出 ，最后求出溫度t,b) 對于由溫度求時間步驟為，計算Bi數(shù)、 x

25、/δ和θ / θ0 ,從圖中查找θ / θm, ，計算θm/ θ0然后從圖中查找Fo,再求出時間? 。,c）平板吸收（或放出）的熱量，可在計算Q0和Bi數(shù)、Fo數(shù)之后，從圖3-6中Q/Q0查找，再計算出,2024/4/2,53,Fo數(shù)及Bi數(shù)的影響：(1)當(dāng)Bi數(shù)一定時， ? 隨Fo的增加而減小，即隨著時間的增加（ Fo增加），物體溫度越來越接近流體溫度。(2)當(dāng)Fo數(shù)一定時，Bi越大（1/Bi越?。?， ?m/?0就越小，這是因為B

26、i=h? /?越大，表面換越強，中心溫度就越快地接近周圍液體溫度。,2024/4/2,54,當(dāng)1/Bi=0時，表面溫度一開始就達(dá)到液體溫度，中心溫度變化也最快，這條線代表第一類邊界條件。(3)從圖3-5可看出，當(dāng)1/Bi >10，即Bi<0.1時，所有曲線上的過余溫度差值小于5%，這時可以用集總參數(shù)法求解而誤差不大。一般為了得到更高精確度，可使Bi<0.01為下限，誤差極微。,2024/4/2,55,例3-2：一塊厚

27、100mm的鋼板放入溫度為1000℃ 的爐中加熱。鋼板一面加熱，另一面可認(rèn)為是絕熱。初始溫度 t0=20℃，求受熱面加熱到500℃所需時間，及剖面上最大溫差。(h = 174 W/(m2·K), ? = 34.8 W/(m·K), a=0.555×10-5 m2/s) 解：這一問題相當(dāng)于厚200mm平板對稱受熱問題，必須先求?m/?0，再由?m/?0、Bi查圖求Fo。,?w/?m可查圖3-5。

28、而,,2024/4/2,56,由?m/?0和Bi從圖3-4查得Fo=1.2（較困難）。,又x/?=1, 從圖3-5(p34)查得 ?w/?m=0.8.,求中心（絕熱面）溫度:,求剖面最大溫差:,討論: 直接計算:,查表得 ??1 = 0.6533, 另：,2024/4/2,57,由溫度分布式,得 Fo = 1.196.,2024/4/2,58,4 一維圓柱及球體非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,經(jīng)過分析，對于半徑為R的長圓柱和半徑為R的球體在第三類邊界條件下