1、普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學真題2014 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試綜合能力測試數(shù)學試題(江蘇卷)一、填空題:本大題共 14 小題,每小題 5 分,共計 70 分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.1.(2014 江蘇,1)已知集合 A={-2,-1,3,4},B={-1,2,3},則 A∩B= . 答案:{-1,3}解析:由題意,得 A∩B={-1,3}.2.(2014 江蘇,2)已知復數(shù) z=(5+2i)2(i 為虛數(shù)

2、單位),則 z 的實部為 . 答案:21解析:由題意,得 z=(5+2i)2=25+20i-4=21+20i,其實部為 21.3.(2014 江蘇,3)下圖是一個算法流程圖,則輸出的 n 的值是 . 答案:5解析:本題實質(zhì)上是求不等式 2n>20 的最小整數(shù)解,2n>20 的整數(shù)解為 n≥5,因此輸出的 n=5.4.(2014 江蘇,4)從 1,2,3,6 這 4 個數(shù)中一次隨機地取 2 個數(shù),則所取 2 個

3、數(shù)的乘積為 6 的概率是 . 答案:13解析:從 1,2,3,6 這 4 個數(shù)中隨機地取 2 個數(shù),不同的取法為{1,2},{1,3},{1,6},{2,3},{2,6},{3,6}共 6 個基本事件,其中乘積為 6 的有{1,6},{2,3}兩個基本事件,因此所求事件的概率為 P= .26 =135.(2014 江蘇,5)已知函數(shù) y=cos x 與 y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它們的圖象有一個橫坐標為 的交點

4、,則 φ 的值是 .π3答案:π6解析:由題意 cos =sin ,即 sin +φ=kπ+(-1)k· (k∈Z).π3 (2 ×π3 + φ) (2π3 + φ) =12,2π3π6因為 0≤φ<π,所以 φ= .π66.(2014 江蘇,6)為了了解一片經(jīng)濟林的生長情況,隨機抽測了其中 60 株樹木的底部周長(單位:cm),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80,130]上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的

5、60 株樹木中,有 株樹木的底部周長小于 100 cm. 答案:24解析:由題意,在抽測的 60 株樹木中,底部周長小于 100 cm 的株數(shù)為(0.015+0.025)×10×60=24.7.(2014 江蘇,7)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若 a2=1,a8=a6+2a4,則 a6的值是 . 答案:4解析:設公比為 q,則由 a8=a6+2a4,得 a1q7=a1q5+2a1q3,q4-q

6、2-2=0,解得 q2=2(q2=-1 舍去),所以 a6=a2q4=4.普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學真題14.(2014 江蘇,14)若△ABC 的內(nèi)角滿足 sin A+ sin B=2sin C,則 cos C 的最小值是 . 2答案:6 - 24解析:由 sin A+ sin B=2sin C 及正弦定理可得 a+ b=2c. 2 2故 cos C=𝑎2 + 𝑏2 - 𝑐

7、;22𝑎𝑏 =𝑎2 + 𝑏2 - (𝑎 + 2b2 )22𝑎𝑏= ,3𝑎2 + 2𝑏2 - 2 2ab8𝑎𝑏 ≥2 6ab - 2 2ab8𝑎𝑏 =6 - 24當且僅當 3a2=2b2,即 時等號成立.𝑎Ү

8、87; =23所以 cos C 的最小值為 .6 - 24二、解答題:本大題共 6 小題,共計 90 分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答,解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分 14 分)(2014 江蘇,15)已知 α∈ ,sin α= . (π2,π)55(1)求 sin 的值; (π4 + α)(2)求 cos 的值. (5π6 - 2α)分析:(1)先結合范圍,運用平方關系求出 cos α,再用兩角和的正弦公式求

9、值;(2)由(1)運用二倍角公式求出 sin 2α,cos 2α,再用兩角差的余弦公式求值.解:(1)因為 α∈ ,sin α= , (π2,π)55所以 cos α=- =- . 1 - sin2α2 55故 sin =sin cos α+cos sin α= =- . (π4 + α)π4π422 × ( -2 55 ) +22 ×551010(2)由(1)知 sin 2α=2sin αcos α=2×

10、 =- ,55 × ( -2 55 )45cos 2α=1-2sin2α=1-2× , (55 )2 =35所以 cos =cos cos 2α+sin sin 2α= =- . (5π6 - 2α)5π65π6 ( -32 ) ×35 +12 × ( -45)4 + 3 31016.(本小題滿分 14 分)(2014 江蘇,16)如圖,在三棱錐 P-ABC 中,D,E,F 分別為棱 PC,AC,

11、AB 的中點.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:(1)直線 PA∥平面 DEF;(2)平面 BDE⊥平面 ABC.分析:(1)證明線面平行可由線線平行證得,由條件中中點較多,故可用中位線構造線線平行證明;(2)證明面面垂直可由線面垂直證得.利用中位線結合勾股定理證明 DE⊥EF,再由(1)結合已知可證 DE⊥AC,用線面垂直的判定定理證得 DE⊥平面 ABC,從而證明面面垂直.證明:(1)因為 D,E 分別為棱 PC,