1、- 1 -1984 年全國高中數學聯賽試題第一試1．選擇題(本題滿分 40 分，每小題答對得 5 分答錯得 0 分，不答得 1 分)⑴ 集合 S={ |argZ=α，α 為常數}在復平面上的圖形是( ) －2ZA．射線 argZ=2α B．射線 argZ=－2α C．射線 argZ=α D．上述答案都不對⑵下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式 logx(logxy2)>0 的是(

2、 )y 2=x y 2=x y 2=x y 2=xx=1 x=1 x=1 x=11D. C. B. A.O xyO xyO xyO xy111111 1⑶ 對所有滿足 1≤n≤m≤5 的 m，n，極坐標方程 ρ= 表示的不同雙曲線條數是( )11－CnmcosθA．15 B．10 C．7 D．6⑷ 方程 sinx=lgx 的實根個數是( )A．1

3、 B．2 C．3 D．大于 3⑸ 若 a>0，a≠1，F(x)是一個奇函數，則G(x)=F(x)?( + )是1ax－112A．奇函數 B．偶函數 C．不是奇函數也不是偶函數 D．奇偶性與 a 的具體數值有關⑹ 若 F( )=x，則下列等式中正確的是( )1－x1 + xA．F(－2－x)=－2－F(x)

4、 B．F(－x)=F( )1 + x1－xC．F(x－1)=F(x) D．F(F(x))=－x⑺ 若動點 P(x，y)以等角速度 ω 在單位圓上逆時針運動，則點 Q(－2xy，y2－x2)的運動方式是A．以角速度 ω 在單位圓上順時針運動B．以角速度 ω 在單位圓上逆時針運動C．以角速度 2ω 在單位圓上順時針運動D．以角速度 2ω 在單位圓上逆時針運動⑻ 若四面體的一條棱長是 x，其余棱長都是

5、 1，體積是 F(x)，則函數 F(x)在其定義域上A．是增函數但無最大值 B．是增函數且有最大值 C．不是增函數但無最大值 D．不是增函數但有最大值2．填充題(本題滿分 10 分，每小題 5 分)⑴ 如圖，AB 是單位圓的直徑，在 AB 上任取一點 D，作 DC⊥AB，交圓周于C，若點 D 的坐標為 D(x，0)，則當 x∈ 時，線段 AD、BD、CD 可以

6、構成銳角三角形．⑵ 方程 cos =cosx 的通解是 ，在(0，24π)內不相同的解有x4個．DCBA11yx O- 3 -1984 年全國高中數學聯賽試題解答第一試1．選擇題(本題滿分 40 分，每小題答對得 5 分答錯得 0 分，不答得 1 分)⑴ 集合 S={ |argZ=α，α 為常數}在復平面上的圖形是( ) －2ZA．射線 argZ=2α B．射線 argZ=－2α

7、 C．射線 argZ=α D．上述答案都不對解：由于 argZ∈[0.2π)，故不存在答案 B．arg =2π－α，故選 D． －Z⑵下列四個圖形的陰影部分(不包括邊界)滿足不等式 logx(logxy2)>0 的是( )y 2=x y 2=x y 2=x y 2=xx=1 x=1 x=1 x=11D. C. B. A.O xyO xyO xyO xy111111 1解：當 0y2>x>0；當 x&

8、gt;1 時，得 y2>x>1．選 D．⑶ 對所有滿足 1≤n≤m≤5 的 m，n，極坐標方程 ρ= 表示的不同雙曲線條數是( )11－CnmcosθA．15 B．10 C．7 D．6解：由 e=C ，若表示雙曲線，則 e>1，由 C >1，可得 m、n 的不同取值為 C =5，C =10，C =4，C n mn m1 52 51 4=6

9、，C =3，C =2，共有 6 個不同的值，故選 D． 2 41 31 2⑷ 方程 sinx=lgx 的實根個數是( )A．1 B．2 C．3 D．大于 3解：作 y=sinx 及 y=lgx 的圖象，當 x>10 時，lgx>1．故二者只在(0，10)內可能有交點．經作圖可知，二者在(0，π)內有一交點，在(2π，3π)內有一交點．選 C．⑸

10、若 a>0，a≠1，F(x)是一個奇函數，則G(x)=F(x)?( + )是1ax－112A．奇函數 B．偶函數 C．不是奇函數也不是偶函數 D．奇偶性與 a 的具體數值有關解：G(x)=F(x)? ，故 G(－x)=G(x)，且 G(x)的定義域是 F(x)的定義域與{x|x≠0，x∈R}的交ax + 12(ax－1)集，為以原點為對稱的區(qū)域，故選 B．⑹ 若 F( )=x，則下列等式中正確的是(

11、 )1－x1 + xA．F(－2－x)=－2－F(x) B．F(－x)=F( )1 + x1－xC．F(x－1)=F(x) D．F(F(x))=－x解：令 t= ，得 x= ，即 F(t)= ，經一一驗證，知 F(－2－x)=－2－F(x)，選 A．1－x1 + x1－t1 + t1－t1 + t⑺ 若動點 P(x，y)以等角速度 ω 在單位圓上逆時針運動，則點 Q