1、1( )0Ar A nA AxAA? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?不可逆有非零解是的特征值的列（行）向量線性相關1 2( )0,,Ts inAr A nAxAA AA AAA p p p pAx?? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?可逆只有零解的特征值全不為零的列（行）向量線性無關是正定矩陣與同階單位陣等價是初等陣總有唯一解 R? ? ??? ? ?

2、 ? ?具有向量組等價相似矩陣反身性、對稱性、傳遞性矩陣合同√ 關于 ： 1 2 , , , n e e e ???①稱為 的標準基， 中的自然基，單位坐標向量； n : n :② 線性無關； 1 2 , , , n e e e ???③ ； 1 2 , , , 1 n e e e ??? ?④ ； tr( )= E n⑤任意一個 維向量都可以用 線性表示. n 1 2 , , , n e e e ???√ 行列式的計算：① 若 都是方

3、陣（不必同階）,則 A B 與( 1)mnA A A A B B B BA A B B? ?? ??? ? ? ? ?? ? ?②上三角、下三角行列式等于主對角線上元素的乘積.③關于副對角線：( 1)21 12 1 2 11 2 11 1( 1)n nn nn nn n nn na aa a a a aa a?? ?? ? ??? ? ? ? ? ?√ 逆矩陣的求法:① 1 A A A?? ?② 1 ( ) ( ) A E E A? ?

4、??? ? ? ? 初等行變換③1 1 a b d bc d c a ad bc? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?T T TT TA B A CC D B D? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3√ 和 同解（ 列向量個數(shù)相同）,則： Ax ? ? Bx ? ? , A B① 它們的極大無關組相對應,從而秩相等；② 它們對應的部分組有一樣的線性相關性；③ 它們有相同的內(nèi)在線性關系.√ 判斷

5、 是 的基礎解系的條件： 1 2 , , , s ? ? ? ? 0 Ax ?① 線性無關； 1 2 , , , s ? ? ? ?② 是 的解； 1 2 , , , s ? ? ? ? 0 Ax ?③ . ( ) s n r A ? ? ? 每個解向量中自由變量的個數(shù)① 零向量是任何向量的線性組合,零向量與任何同維實向量正交.② 單個零向量線性相關；單個非零向量線性無關.③ 部分相關,整體必相關；整體無關,部分必無關.④ 原向量

6、組無關,接長向量組無關；接長向量組相關,原向量組相關.⑤ 兩個向量線性相關 對應元素成比例；兩兩正交的非零向量組線性無關. ?⑥ 向量組 中任一向量 ≤ ≤ 都是此向量組的線性組合. 1 2 , , , n ? ? ? ??? i ? (1 i ) n⑦ 向量組 線性相關 向量組中至少有一個向量可由其余 個向量線性表示. 1 2 , , , n ? ? ? ??? ? 1 n ?向量組 線性無關 向量組中每一個向量 都不能由其余 個向量

7、線性表示. 1 2 , , , n ? ? ? ??? ? i ? 1 n ?⑧ 維列向量組 線性相關 ； m 1 2 , , , n ? ? ? ??? ( ) r A n ? ?維列向量組 線性無關 . m 1 2 , , , n ? ? ? ??? ( ) r A n ? ?⑨ . ( ) 0 r A A ? ? ? ?⑩ 若 線性無關，而 線性相關,則 可由 線性表示,且表示法惟一. 1 2 , , , n ? ? ? ???

8、1 2 , , , , n ? ? ? ? ??? ? 1 2 , , , n ? ? ? ???? 矩陣的行向量組的秩等于列向量組的秩.階梯形矩陣的秩等于它的非零行的個數(shù).? 矩陣的行初等變換不改變矩陣的秩,且不改變列向量間的線性關系.矩陣的列初等變換不改變矩陣的秩,且不改變行向量間的線性關系.向量組等價 和 可以相互線性表示. 記作： 1 2 , , , n ? ? ? ??? 1 2 , , , n ? ? ? ??? ? ?

9、 ? ? 1 2 1 2 , , , , , , n n ? ? ? ? ? ? ??? ? ??? ?矩陣等價 經(jīng)過有限次初等變換化為 . 記作： A B A B ? ?? 矩陣 與 等價 作為向量組等價,即：秩相等的向量組不一定等價. A B ? ( ) ( ) , r A r B A B ? ??矩陣 與 作為向量組等價 A B ? 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n r r ? ? ? ? ? ?

10、 ??? ? ??? ? 1 2 1 2 ( , , , , , , ) n n r ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?矩陣 與 等價. A B? 向量組 可由向量組 線性表示 1 2 , , , s ? ? ? ??? 1 2 , , , n ? ? ? ??? ? 1 2 1 2 ( , , , , , , ) n s r ? ? ? ? ? ? ??? ??? 1 2 ( , , , ) n r ? ? ? ? ??? ?