1、極值圖論是圖論領(lǐng)域中的一個(gè)重要分支。在極值圖論中一個(gè)重要的研究方向是保證圖具有某種性質(zhì)的前提下圖的相關(guān)參數(shù)的變化，包含限制子圖的極圖問(wèn)題是這一方向下的一個(gè)重要課題，而在這一課題中最有代表性的例子就是Turán類型問(wèn)題。
　　早在1940年，著名數(shù)學(xué)家Turán就給出了一個(gè)分析極圖的工具，同時(shí)也是圖論中的一個(gè)重要的定理——Turán定理：對(duì)于任意的整數(shù)r,n，其中r>1，任何一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)的不包含r個(gè)頂點(diǎn)的完全圖作為子圖的簡(jiǎn)單圖的

2、邊數(shù)至多為Tr-1(n)，其中Tr-1(n)是Turán圖的邊數(shù)，n≥r。自此之后，Turán類型問(wèn)題成為研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。許多著名學(xué)者對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了研究，并取得了許多漂亮的結(jié)果。其中，Bollobás等人對(duì)于圖中含有給定長(zhǎng)度的路的數(shù)目的極值問(wèn)題進(jìn)行了研究，并刻畫了相應(yīng)的極圖。受Bollobás等人對(duì)于樹上給定長(zhǎng)度路的數(shù)目的研究的啟發(fā)，Tyomky等人提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：對(duì)于任意一個(gè)含有n個(gè)頂點(diǎn)的圖，它含有距離為k的點(diǎn)對(duì)的最大數(shù)目是多少

3、呢？為了探究這一問(wèn)題，他們給出了一些猜想，并用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了給定確切值的小點(diǎn)圖。更進(jìn)一步，他們對(duì)于有限制條件的圖得到了如下的結(jié)論：當(dāng)k充分大且n足夠大時(shí)，一個(gè)n階且不含任三個(gè)頂點(diǎn)兩兩距離值為k的圖中含有最大距離為k的頂點(diǎn)對(duì)的數(shù)目至多為(n-k+1)2/4，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)此圖k-同構(gòu)于一個(gè)“雙掃帚”。
　　實(shí)際上，距離相等的點(diǎn)對(duì)數(shù)目的極值問(wèn)題很早就引起了人們的關(guān)注。當(dāng)k=3時(shí)，此問(wèn)題就成為化學(xué)圖論中的一個(gè)著名的指數(shù)——Wiener極

4、化指數(shù)，它是由著名化學(xué)家H.Wiener在1947年提出的。Wiener極化指數(shù)主要是在理論化學(xué)中用來(lái)反映分子的物理化學(xué)性質(zhì)，藥學(xué)性質(zhì)等各種性質(zhì)。具體來(lái)說(shuō)，它可以被用在一些無(wú)圈和單圈的碳?xì)浠衔镏衼?lái)量化其結(jié)構(gòu)性質(zhì)。很多研究人員都對(duì)此指標(biāo)進(jìn)行了一系列的研究并取得了一些好的結(jié)果。其中，樹和單圈圖中具有最大、最小的Wiener極化指數(shù)的極圖已被完全刻畫。
　　對(duì)于一般的k值，此問(wèn)題的研究是困難的。本論文主要是針對(duì)給定k值為2和3的點(diǎn)對(duì)數(shù)

5、目問(wèn)題進(jìn)行研究并得到了一些相應(yīng)的結(jié)果。全文共分為五章。在第一章中，我們介紹了本文所涉及到的基本概念，研究背景以及主要結(jié)果。
　　在第二章中，我們主要對(duì)Tyomkyn和Uzzell的一個(gè)猜測(cè)進(jìn)行了研究。猜測(cè)如下：一個(gè)具有n(≥5)個(gè)頂點(diǎn)且不含有三個(gè)頂點(diǎn)兩兩距離為2的簡(jiǎn)單圖的距離為2的點(diǎn)對(duì)數(shù)目不超過(guò)(n-1)2/4+1。對(duì)于頂點(diǎn)數(shù)小于11的情形，他們用計(jì)算機(jī)驗(yàn)證了其正確性。而在這一章，我們通過(guò)對(duì)圖結(jié)構(gòu)的分析得到了一個(gè)更一般的結(jié)論：對(duì)于

6、一個(gè)n(≥5)階且不含有三個(gè)頂點(diǎn)兩兩距離為2的簡(jiǎn)單圖，如果它含有一個(gè)頂點(diǎn)，其鄰域至多被兩個(gè)團(tuán)覆蓋，那么該圖的距離為2的點(diǎn)對(duì)的數(shù)目至多為(n-1)2/4+1，并且我們完全刻畫了其極圖。
　　在第三章中，我們主要研究了圖積下的Wiener極化指數(shù)。圖積是圖論中構(gòu)造新圖的重要方法，在網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造和設(shè)計(jì)中有著重要的應(yīng)用。在這一章，我們研究Wiener極化指數(shù)在四種圖積（卡氏積、強(qiáng)積、直積、字典積）下的變化，并給出了圖積下Wiener極化指數(shù)的

7、關(guān)系式。
　　在第四章中，我們主要研究了雙圈圖的Wiener極化指數(shù)。杜等人給出了對(duì)于樹的Wiener極化指數(shù)的一個(gè)線性算法并刻畫了具有最大Wiener極化指數(shù)的極圖。隨后一些研究者給出了計(jì)算樹、單圈圖的Wiener極化指數(shù)的公式，并且刻畫了給定直徑、最大度條件下的單圈圖中的最大、最小的Wiener極性指標(biāo)的極圖。在這一章中，我們給出了雙圈圖的Wiener極化指數(shù)的計(jì)算公式，并且刻畫了具有最大、最小Wiener極化指數(shù)相應(yīng)的極圖。