1、本論文綜合論述了可積及不可積系統(tǒng)的擾動理論。首先闡述了擾動理論最基本的方法——平均方法。該方法利用變量變換來消除擾動運動方程中的快速變量，從而將慢速運動和快速運動分離開來。論文中分別從共振情形和非共振情形考慮了這個過程。利用得到的平均方法我討論了很多特殊系統(tǒng)，如單頻率、常頻率、兩頻率以及多頻率系統(tǒng)，而且還將平均方法應用在Hamilton系統(tǒng)上了。接下來我闡述了KAM擾動理論及其應用。我先給出了擾動系統(tǒng)不變環(huán)面定理，即Kolmogorov

2、定理。該定理描述了非共振環(huán)面在一個擾動影響下的行為，而且對于該定理的一些變形我也進行了論述。利用KAM理論，對于多維系統(tǒng)中慢變量的擴散速率我給出了一個指數(shù)階估計。我還考慮了低維環(huán)面上的KAM理論，它跟Hamilton系統(tǒng)條件周期運動擾動理論相關。我討論了其中迷向性和可約性這兩個處于中心地位的概念。然后我給出了絕熱不變量方法，描述了單頻率系統(tǒng)和多頻率系統(tǒng)中的絕熱不變量，討論了絕熱不變量的守恒性，對絕熱不變量的守恒時間、守恒精確性以及永久守

3、恒性都進行了闡述。最后一部分我討論了不可積Hamilton系統(tǒng)，給出了證明Hamilton系統(tǒng)不可積性的Poincare方法及其應用。利用該方法我們可以在幾乎可積Hamilton系統(tǒng)的漸近曲面分析的基礎上來證明其不可積性。隨后討論的擬隨機振動理論利用的是這樣一個事實:相位曲線的一個充分復雜的拓撲行為會阻礙第一積分的存在。若這種拓撲復雜性可以顯示建立，我們就得到了系統(tǒng)的不可積性。最后我考慮了解分支對可積性的阻礙以及自然系統(tǒng)可積性的拓撲阻礙