1、非線性動力學(xué)是非線性力學(xué)研究的一個重要領(lǐng)域。許多非線性保守和耗散動力系統(tǒng)具有對初始條件的極端敏感依賴性，即混沌現(xiàn)象。由于混沌系統(tǒng)的不可積性，無法得到其解析解。從理論和數(shù)值上對這些非線性系統(tǒng)的動力學(xué)研究涉及幾個問題：如何尋找可靠的數(shù)值積分方法？怎樣構(gòu)造或采用可靠的混沌識別方法？如何了解非線性系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì)？如何運(yùn)用非線性系統(tǒng)的動力學(xué)特性去解釋一些物理現(xiàn)象？圍繞這些問題，本文建立了以同一點兩切向量夾角的余弦作為新混沌指標(biāo)，并與已有的快速李

2、雅普諾夫指標(biāo)和較小排列指標(biāo)等進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)其一樣具有較好的混沌識別靈敏性；還采用辛算法或Runge-Kutta(RK)為積分工具，研究了牛頓和1階后牛頓圓型限制性三體保守系統(tǒng)動力學(xué)、圓軌道衰減的限制性三體耗散系統(tǒng)動力學(xué)及物理非線性彈性直桿件問題動力學(xué)。另外，利用高階Runge-Kutta(RK)方法探討了新四維自治耗散系統(tǒng)動力學(xué)，并用模擬硬件電路和基于單片機(jī)的數(shù)字電路實驗進(jìn)行仿真。下面分別簡述這些工作。
　　1、新混沌指標(biāo)——余弦指

3、標(biāo)?？紤]到快速Lyapunov指標(biāo)與較小排列指標(biāo)都是迅速識別混沌的指標(biāo)，并且后者比前者識別混沌速度更快、更靈敏，因此，本文將以較小排列指標(biāo)為基礎(chǔ)發(fā)展和建立以同一點兩切向量夾角的余弦作為相對論框架內(nèi)獨立于時空坐標(biāo)選擇并具有較好靈敏性的新混沌指標(biāo)。如果軌道混沌，切空間同一點的兩個切向量的夾角的余弦指數(shù)式地趨于1，而對于有序軌道，余弦一般在0與1之間某個值波動或代數(shù)式地趨于0。因此，余弦值可以作為區(qū)分有序和混沌軌道的指標(biāo)。借助余弦指標(biāo)和辛算法

4、研究牛頓圓型限制性三體問題。使用幾個辛算法分別求解該問題得到了它們的能量誤差，找出精度最好算法；再用精度最好算法求解變分方程，即意味著全局辛算法的實施。結(jié)果表明新余弦混沌指標(biāo)與 Lyapunov指數(shù)和快速Lyapunov指標(biāo)一樣都可以正確揭示系統(tǒng)的有序和混沌性質(zhì)，并且比Lyapunov指數(shù)識別混沌更快、更靈敏。
　　2、1階后牛頓圓型限制性三體問題動力學(xué)。對距離、時間和速度等標(biāo)度變換得到質(zhì)心旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下的拉格朗日函數(shù)，使其中的牛頓

5、圓型限制性三體問題部分兩主天體距離與圓運(yùn)動角速度都化為1，但后牛頓項明顯含有兩主天體距離與圓運(yùn)動角速度的貢獻(xiàn)。這樣處理方便做牛頓與相對論的圓型限制性三體問題有序和混沌動力學(xué)的比較研究。通過大量掃描兩主天體距離揭示1階后牛頓三體問題軌道動力學(xué)定性演化規(guī)律。最后，由考慮兩中心天體圓運(yùn)動的1階后牛頓效應(yīng)的拉格朗日理論推導(dǎo)相應(yīng)的1階后牛頓哈密頓，揭示二者在有序和混沌動力學(xué)定性上存在一些差異。
　　3、圓軌道衰減的限制性三體問題動力學(xué)。對圓

6、軌道有引力耗散衰減的圓型限制性三體問題的運(yùn)動方程進(jìn)行位置、速度和加速度標(biāo)度因子變換，通過大量掃描兩主天體距離，發(fā)現(xiàn)與牛頓圓型限制性三體問題不一樣，有圓軌道衰減的圓型限制性三體問題的軌道是不穩(wěn)定的，換言之，兩主天體的最終運(yùn)動狀態(tài)必然是并合，而小天體必然逃逸；系統(tǒng)保持牛頓動力學(xué)性質(zhì)的時間與兩主天體的距離有關(guān)。兩主天體距離越短，第三個小天體逃逸就越早。兩主天體間距愈大，牛頓三體問題動力學(xué)特性維持的時間愈長。
　　4、非線性粘彈性桿件問題

7、動力學(xué)。在工程應(yīng)用中，分析彈性細(xì)桿強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定具有十分重要的意義。該力學(xué)問題考慮的是一端固定而另一端受周期拉伸的二次和三次非線性Keilven-voigt粘彈性直桿動力學(xué)。首先應(yīng)用Galerkin方法將無限維動力系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為單模態(tài)、雙模態(tài)和三模態(tài)動力方程，進(jìn)一步得到對應(yīng)的Hamilton系統(tǒng)。其次，采用四階辛算法、四階力梯度辛算法、最優(yōu)化四階力梯度辛算法和含有三階導(dǎo)數(shù)項的辛算法分別計算兩類不同的軌道以便比較這些辛算法的能量精度來挑選精

8、度最好算法。再次，利用Poincaré截面、Lyapunov指數(shù)、快速Lyapunov指標(biāo)和功率譜等研究直桿單模態(tài)系統(tǒng)分別在參數(shù)激勵和強(qiáng)迫激勵作用下存在分岔、周期、準(zhǔn)周期和混沌現(xiàn)象。最后，揭示不管是無強(qiáng)迫自由振動保守系統(tǒng)還是有阻尼參數(shù)激勵的非自治耗散系統(tǒng)都可能存在周期、準(zhǔn)周期和混沌性質(zhì)。
　　5、新四維電路系統(tǒng)動力學(xué)。從模擬電路推導(dǎo)出新的四維自治微分方程，對系統(tǒng)平衡點進(jìn)行穩(wěn)定性分析，再采用Lyapunov指數(shù)（LCE）、快速Lya