1、本文針對非線性 Gronwall-Bellman積分不等式，討論在偏微分方程、差分方程、時滯型偏微分方程以及弱奇性偏微分方程中新的推廣并研究其具體應用.
　　首先，考慮到積分不等式從對常微分方程的研究轉(zhuǎn)化到對偏微分方程的研究是最直接的推廣方式,首先研究具有多個非線性函數(shù)項的二元積分不等式.通過構(gòu)造輔助不等式,并利用數(shù)學歸納法證明基于輔助不等式的猜想結(jié)果,再結(jié)合函數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系及變量代換技巧,得到方程解的估計并將所得的結(jié)果應用于偏

2、微分方程解的有界性、唯一性和連續(xù)依賴性.
　　其次,對偏差分方程的定性研究也需要二元和差不等式作為工具.盡管某些積分不等式可以直接離散化為和差不等式,但大多數(shù)和差不等式不能通過其對應的積分不等式離散化得到.第三章就建立一些新的非線性和差不等式,包括非線性的混合型以及包含多個非線性函數(shù)項的和差不等式.事實上,由于連續(xù)形式和離散形式之間的偏差,這給積分不等式的離散化帶來一定的困難.本文一方面考慮一元與二元函數(shù)不同組合形式,研究兩種類型

3、的混合型和差不等式,另一面利用函數(shù)之間的單調(diào)性強弱,研究更一般形式的非線性和差不等式.采用不同的差分形式和離散化技巧,得到未知函數(shù)的界的估計,同時也對差分方程的解的有界性作出研究.
　　隨后研究系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性研究中常用到的時滯性積分不等式及離散類似.由于非線性及時滯是系統(tǒng)控制中的主要特點,討論具有多個非線性函數(shù)項的積分不等式與和差不等式.和已有的結(jié)果相比,該結(jié)果不需要不等式中函數(shù)的單調(diào)性要求.為了克服多個非線性函數(shù)之間單調(diào)性不可