1、眾所周知，不動(dòng)點(diǎn)理論滲透到數(shù)學(xué)的多個(gè)領(lǐng)域，并被廣泛應(yīng)用于各種問(wèn)題的研究中。作為不動(dòng)點(diǎn)理論的延伸和推廣，映射對(duì)(或映射族)的公共不動(dòng)點(diǎn)受到廣泛重視，并成為十分活躍的領(lǐng)域。特別是滿足交換條件的映射對(duì)(或映射族)情形已取得較豐富和系統(tǒng)的結(jié)果。為了研究非交換映射對(duì)的問(wèn)題，人們提出了弱交換，R-弱交換，相容映射等概念及其相應(yīng)的非交換映射類，并取得了一定的進(jìn)展。但是由于工具和技術(shù)上的原因，與關(guān)于交換映射(對(duì))的成果相比，關(guān)于非交換映射需要深入研究的

2、問(wèn)題還很多，尤其是如何引入更廣泛的非交換映射類并確定相應(yīng)的公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性，在理論和應(yīng)用上都具有十分重要的意義。 不動(dòng)點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)定理的一個(gè)重要應(yīng)用是證明不動(dòng)點(diǎn)(元)或公共不動(dòng)點(diǎn)(元)在給定逼近集中具有不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的最佳逼近元的存在性。1964年，Meinardus利用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理證明了函數(shù)的某種特殊性質(zhì)可以傳遞給它的最佳逼近元，人們稱之為“不變逼近”。此后，關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)(或公共不動(dòng)點(diǎn))最佳逼近的研究成為備受關(guān)注的

3、課題。該課題對(duì)于非嚴(yán)格凸空間具有更突出的價(jià)值。本文將深入系統(tǒng)研究非交換映射(對(duì))的公共不動(dòng)點(diǎn)及其相關(guān)的最佳逼近問(wèn)題，主要研究問(wèn)題和研究成果有如下四個(gè)方面： 1.定理的基礎(chǔ)上，分別在緊致和弱緊致前提下，對(duì)漸進(jìn)弱C交換映射(對(duì))證明了非擴(kuò)張型公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理。弱C交換和漸進(jìn)弱C交換本質(zhì)上涵蓋了以往幾乎所有的“非交換”類型，因此本文結(jié)論推廣和涵蓋了大部分已知的關(guān)于“非交換”映射(對(duì))的公共不動(dòng)點(diǎn)的結(jié)果。 2.提出了弱F交

4、換映射(對(duì))的概念，這是與以往的非交換映射完全不同(互不包含)的非交換類型。文中首先利用弱F交換和F-凸映射將經(jīng)典的Tychonoff不動(dòng)點(diǎn)定理和Markov不動(dòng)點(diǎn)定理統(tǒng)一為一個(gè)定理，隨后建立了一系列關(guān)于弱F交換映射(對(duì))的非擴(kuò)張型公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理。以往的定理中都要求其中一個(gè)映射是線性或仿射的，但是本文關(guān)于弱F交換映射(對(duì))的結(jié)論，只需要求F-凸性假設(shè)，本質(zhì)上減弱了定理的條件。這說(shuō)明弱F交換的概念在非交換映射(對(duì))的研究中具有基本

5、的重要性，在很大程度上反映了問(wèn)題的實(shí)質(zhì)。 3.在上述工作基礎(chǔ)上，本文研究了弱C交換映射和弱F交換映射(對(duì))的公共不動(dòng)點(diǎn)的最佳逼近問(wèn)題，證明了一系列具有公共不動(dòng)點(diǎn)性質(zhì)的最佳逼近元的存在性定理。由于這兩種非交換映射類的廣泛性，本文結(jié)論推廣和涵蓋了大部分已有的關(guān)于不動(dòng)點(diǎn)和公共不動(dòng)點(diǎn)的最佳逼近的結(jié)果，特別在關(guān)于弱F交換映射的結(jié)論中，不需要對(duì)映射附加線性或仿射的假設(shè)，這將使得本文結(jié)果具有更大的實(shí)用性。文中還討論了Al-Thagafi關(guān)于不

6、變逼近提出的問(wèn)題，且把有關(guān)結(jié)論推廣到了對(duì)漸進(jìn)弱C交換映射和弱F交換映射類。 4.p-模(0＜p＜1)空間是一個(gè)非局部凸線性拓?fù)淇臻g，而調(diào)和分析中的Hp(0＜p＜1)是一個(gè)典型的p-?？臻g.由于空間特征的復(fù)雜性，非局部凸空間中的不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的研究成果較少。本文利用Ky-Fan定理和Banach壓縮映射原理系統(tǒng)討論了p-模(0＜p＜1)空間中的不動(dòng)點(diǎn)與公共不動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，克服非局部凸帶來(lái)的困難，給出了一些公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理，并將其用于