1、考慮Gauss-Markoff模型 Y=X β+ε E(ε)=0, cov(ε)=δ~2 ∑ (1) 其中 Y 為 n×1 的觀察向量, X 為 n×p 的設(shè)計陣,其秩 r(x)≤p ,β為 p×1 的未知參數(shù),ε為 n×1 的隨機(jī)向量,δ~2是未知參數(shù), ∑為 n × n 的協(xié)方差陣。對于 r=p, ∑為正定的情況,文獻(xiàn)[3],[9]分別利用矩陣跡和最小特征根的比給出了最小二乘估計(LSE)相對于最佳線性無偏估計(BLUE)的兩種相對

2、效率,并研究了其下界與廣義相關(guān)系數(shù)的關(guān)系。當(dāng) r<；p, ∑為非負(fù)定陣時,這時模型(1)為廣義線性模型。根據(jù)印度統(tǒng)計學(xué)家Rao.C.R于1991年建立起來的最小二乘估計統(tǒng)一理論,我們可以得到β 的BLUE .這β~+=(XT~+X)~+XT~+Y 這里 A~+ 是 A 的Moore-penrse廣義逆,T=∑+XUX , U 為對稱陣,滿足 r(T)=r(∑(？)X) , 其協(xié)方差陣為 cov(β+)=(XT~+X)~+XT~+∑T

3、~+X(XT~+X)~+σ~2 (2) 本文中取 U=kI,k>；0. 而β的LSEβ|^=(XX)~+XY. 其協(xié)方差陣為cov(β|^)=(XX)~+X ∑(XX)σ~2 (3) 由Gauss-Markoff 定理知,cov(β|^)cov(β|^) ,在實際應(yīng)用中較常見的情況是 ∑ 未知或者不夠清楚,因此常用最小二乘估計β|^來代替β~+ ,但因此將給估計精度帶來一些損失。相對效率就是度量用β|^ 代替 β~+ 所造成的損失

4、的一種重要方法。王潔利用Euclid范數(shù)定義的相對效率并研究了它的下界.其定義為 e(β|^)=(？) , (？) 表示 A 的Euclid范<；WP=4>；數(shù), =[tr(AA)],本文在奇異線形模型仍然利用參考文獻(xiàn)[3][9]給出相對效率,并對對相對效率的下界進(jìn)行了研究,隨后還推廣了文獻(xiàn)[5]中利用歐幾里德(Euclid)范數(shù)所定義的相對效率并研究了它的下界.這三種相對效率如下 e( )= , e ()=, e(= 其中

5、>；0, >；0 分別為 cov(), cov() 的非零特征根。而e( 式對文獻(xiàn)[5]中王潔利用Euclid范數(shù)定義的相對效率的推廣。此外,本文最后還研究了幾種相對效率之間的關(guān)系以及它們的下界與廣義相關(guān)系數(shù)的關(guān)系。其中還指出所定義的相對效率的合理性及其優(yōu)缺點。相關(guān)的預(yù)備知識和主要結(jié)論如下：引理2.1 設(shè) A,B 為 n 階實對稱陣,且 B0 ,則有(B)(A)(ABA)(B)(A) i=1,2, n 引理2.2 (Neuman

6、n不等式)設(shè) A,B 是兩個 n 階 Hermite 陣,它們的特征值分別為 >；0, >；0 則 trAB 引理2.3 (Poincare分隔定理)設(shè) A 為 n n Hermite 陣, U 為 n k 階的列正交陣,即UU=I 則 i=1,2,,k 定理3.1 在模型(1)下,有e其中為T特征根,為X特征根,的定義在證明中給出。定理3.2 在模型(1)下,有e <；WP=5>；定理3.3 在模型(1)下,對于 的

7、任意兩個無偏估計, 若cov()cov()0, 則有 e() e(), i=1,2. 定理4.1 對模型(1),有 e(r 定理4.2 在模型(1)下, 對于的任意兩個無偏估計, 若cov()cov()0, 則有 e () e (), 其中 A>；B 表示 A-B 正定。定理6.2 在模型(1)下,當(dāng) X 為列滿秩時且 非奇異時,有e定理6.3在模型(1)下,若 r(X)=p, r()=k p, 則有 e其中 m=r(T) 定理6.