1、在過去的幾十年，拓?fù)湎依碚撊〉昧酥卮筮M(jìn)展，它對(duì)數(shù)學(xué)理論的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響。柘撲弦理論揭示了很多令人驚異的數(shù)學(xué)結(jié)果，通過拓?fù)湎依碚撝械摹皩?duì)偶性”思想，看似不同的數(shù)學(xué)理論有著密切的聯(lián)系。這篇論文分為三部分，內(nèi)容涉及曲線?？臻g的相交性理論，紐結(jié)理論中的量子不變量，以及拓?fù)湎依碚撝蠦-模型理論。這三個(gè)方面通過拓?fù)湎依碚撝械膬蓚€(gè)對(duì)偶密切地聯(lián)系在一起，即鏡像對(duì)稱和Chern-Simons/拓?fù)湎掖驨對(duì)偶。
　　 拓?fù)湎依碚撚袃煞N類型：A

2、-模型和B-模型，他們通過鏡像對(duì)稱聯(lián)系在一起。A-模型可通過數(shù)學(xué)中的Gromov-Witten理論來嚴(yán)格定義，但B-模型在一般情形下還沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。這兩種模型都有對(duì)應(yīng)的開弦理論，其邊界條件由D-膜來控制。在計(jì)算A-模型的Gromov-Witten不變量時(shí)用到的主要技巧是局部化方法，它將復(fù)雜模空間上的運(yùn)算約化到更簡(jiǎn)單的?？臻g上。Gromov-Witten不變量的計(jì)算不可避免的會(huì)涉及到曲線?？臻g上的Hodge積分的計(jì)算。在論文的第一章

3、，我們研究了曲線模空間上的相交理論，包括Hodge積分的遞歸結(jié)構(gòu)以及曲線?？臻g的相交環(huán)中自然存在的關(guān)系。
　　 當(dāng)拓?fù)湎依碚摰哪繕?biāo)空間是環(huán)簇Calabi-Yau3維流形時(shí)，Chern-Simons/拓?fù)湎掖驨對(duì)偶提供了Gromov-Witten不變量的新的計(jì)算方法。物理學(xué)家發(fā)展了拓?fù)漤旤c(diǎn)的粘合算法來計(jì)算環(huán)簇Calabi-Yau3維流形的Gromov-Witten不變量。其相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論是由中國(guó)數(shù)學(xué)家李俊，劉秋菊，劉克峰和周堅(jiān)發(fā)展

4、起來的。Witten在Chern-Simons量子場(chǎng)論的框架下，通過路徑積分的辦法定義了鏈環(huán)和3維流形的量子不變量。其嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義是由Reshetikhin和Tureav給出。本論文的第二章將研究量子不變量的一般漸進(jìn)展開計(jì)算。
　　 在前面的論述中，我們提到了拓?fù)湎业腁-模型和B-模型可通過鏡像對(duì)稱聯(lián)系在一起。當(dāng)研究拓?fù)湎业纳⑸湔穹贑alabi-Yau?？臻g的不同相點(diǎn)展開時(shí)，B-模型有它的優(yōu)勢(shì)。因?yàn)樗粌H可以計(jì)算在大半徑極限

5、時(shí)的展開，也可以計(jì)算在非幾何點(diǎn)的展開，包括orbifold點(diǎn)和conifold點(diǎn)的展開。對(duì)于閉弦的情形，求解B-模型的主要辦法是求解全純反常方程組。由于全純模糊量的存在，使得求解全純反常方程方法組的有效性受到了限制，盡管在某些情形下，我們可以通過一些邊界條件來確定出這種全純模糊量。但是在開弦的情形，目前還沒有這種邊界條件來控制這些全純模糊量。近來，V.Bouchard,A.Klemm,M.Marino和S.Pasquetti發(fā)展了Eyn