1、非線性方程廣泛存在于各個專業(yè)領(lǐng)域中,如何求解它們是數(shù)學(xué)中的一個重要問題。同倫分析法是一種求解非線性方程近似級數(shù)解的重要解析方法,已被成功應(yīng)用于求解許多非線性微分方程和代數(shù)方程。該方法求得的近似解析解中含有能在一定程度上控制和調(diào)節(jié)解收斂范圍和速度的參數(shù)。如何合適地選取該參數(shù)是同倫分析法研究中的基本問題。本文研究的主要內(nèi)容是在同倫分析法中提出新的收斂控制參數(shù)選取方法,另外還研究了求解一般非線性代數(shù)方程的同倫分析法及 Newton同倫分析法。

2、
　　第一章介紹了同倫分析法的產(chǎn)生及發(fā)展?fàn)顩r,重點描述了近年來關(guān)于收斂控制參數(shù)選取方面的進展及同倫分析法在求解非線性代數(shù)方程上的應(yīng)用。
　　第二章基于Marinca和單步優(yōu)化同倫分析法,提出了多步和混合優(yōu)化同倫分析法。這些方法可以看成是對Marinca和單步優(yōu)化同倫分析法的推廣。通過求解一個簡單的線性微分方程具體描述了這兩種方法的同倫分析過程和計算結(jié)果。為更好地考察多步和混合優(yōu)化方法的計算表現(xiàn),將這些方法用來求解一個變系數(shù)線

3、性微分方程和兩個由變分問題轉(zhuǎn)化而來的非線性微分方程。所有計算結(jié)果表明這兩種方法能有效而快速地求出問題的高階近似解,其計算效率明顯高于傳統(tǒng)同倫分析法和Marinca優(yōu)化同倫分析法,它們的總體計算效果與單步優(yōu)化同倫分析法相當(dāng)。
　　第三章提出了一般非線性代數(shù)方程的同倫分析法。該方法將很多現(xiàn)有的迭代法作為它的特例?；谶@種同倫分析法推導(dǎo)出了幾個具體的迭代公式,包括六階迭代公式和Newton同倫分析法。證明了這些公式的收斂階。數(shù)值實驗表明