1、近年來(lái)，對(duì)非線(xiàn)性問(wèn)題的研究已成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)，非線(xiàn)性科學(xué)也在科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域做出了重大貢獻(xiàn)。非線(xiàn)性物理是非線(xiàn)性科學(xué)的一重要組成部分。許多非線(xiàn)性物理現(xiàn)象都可以用非線(xiàn)性方程來(lái)很好地描述，所以得到非線(xiàn)性方程的解具有重要的意義。本論文從兩個(gè)方面研究了非線(xiàn)性方程的求解。 1．非線(xiàn)性演化方程的精確解雙曲函數(shù)展開(kāi)法是近年提出的一種求解非線(xiàn)性演化方程孤立波解的有效方法。我們討論了雙曲函數(shù)展開(kāi)法，在原有方法的思想基礎(chǔ)上提出展開(kāi)函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的2個(gè)

2、條件，擴(kuò)展為“雙函數(shù)展開(kāi)法”。并且，進(jìn)一步作了改進(jìn)，使其能夠求解一些變系數(shù)演化方程和非平面波方程。 Jacobi橢圓函數(shù)展開(kāi)法可用來(lái)求解非線(xiàn)性演化方程的周期波解。在原法基礎(chǔ)上，我們提出了選擇展開(kāi)函數(shù)的一個(gè)簡(jiǎn)單原則。在此原則指導(dǎo)下，又構(gòu)造出了許多不同的函數(shù)，用它們作為展開(kāi)函數(shù)可以得到非線(xiàn)性演化方程的更多精確解。 2．非線(xiàn)性演化方程的近似解析解在非線(xiàn)性演化方程的解很難甚至無(wú)法得到時(shí)，可以求其近似解。同倫分析法就是求非線(xiàn)性問(wèn)題

3、近似解的一種行之有效的方法。我們把這種方法用于求解非線(xiàn)性演化方程的周期解，并且首次用于求解非線(xiàn)性演化方程孤立波的近似解析解，結(jié)果表明所得近似解非常接近原方程的精確解。在此基礎(chǔ)上，還提出了一種判斷近似解近似程度的簡(jiǎn)單實(shí)用的方法。 我們首次用這種方法求解了一不可積系統(tǒng)——KdV-Burgers方程，得到了其2種類(lèi)型(即單調(diào)型激波解和振蕩型激波解)行波解的高精度解析解，表明同倫分析法對(duì)于求解一些不可積系統(tǒng)仍非常有效。 我們所用