1、變分不等式理論是應用數學中一個十分重要的研究領域,它在非線性最優(yōu)化理論、微分方程、控制論、對策論、社會經濟平衡理論等領域有著廣泛的應用,而變分不等式的基本問題之一是解的存在性問題.
　　本文主要利用例外簇的概念來研究混合變分不等式(記為MVI(K,F,φ))的解的存在性問題,內容具體安排如下:
　　第一章,概述變分不等式理論和例外簇的歷史背景和研究現狀,并介紹了本文要用到的一些基本概念和常用記號.
　　第二章,在自反嚴

2、格凸的光滑Banach空間中定義混合變分不等式的例外簇,接著證明了一個關于緊容許映射的不動點定理,通過例外簇和不動點定理,我們給出了MVI(K,F,φ)解存在的一個基本定理和其它解的存在性定理.本章的主要結論如下:定理2.2.1設X為自反嚴格凸的光滑Banach空間,X*為其對偶空間,K為X中的非空閉凸集,設F1:X*→(K,τω)連續(xù),F2:(K,τω)→2X*為緊容許映射.設U為K的有界的相對開集,且對任給的f∈X*,F1(f)∈U

3、.如果下列條件成立:則F1οF2在U中存在不動點.定理2.3.1設X為自反嚴格凸的光滑Banach空間,X*嚴格凸,K為X中的非空閉凸集,若F2=J-F:K→2X*是緊容許映射,則對以下兩個陳述,必定有其中的一個成立:(i)MVI(K,F,φ)有解;(ii)對任意給定的f∈X*,MVI(K,F,φ)存在關于f的例外簇.定理2.3.2設X為自反嚴格凸的光滑Banach空間,X*嚴格凸,K為X中的非空閉凸集,若F2=J-F:K→2X*是容許

4、映射,且F是緊連續(xù)場.對任給的f∈X*以及任意滿足||xr||→+∞的序列{xr}r＞0(?) K,若存在xr0∈{xr}和y∈K使得:||y||＜||xr0||和則混合變分不等式MVI(K,F,φ)有解.定理2.3.6設X為自反嚴格凸的光滑Banach空間,X*嚴格凸,K為X中的非空閉凸集,若F2=J-F:K→2X*是容許映射,且F是緊連續(xù)場.若對任意實數p,存在x∈K使得:則MVI(K,F,φ)有解.
　　第三章,我們在自反B

5、anach空間中討論例外簇的存在性與混合變分不等式的可解性之間的關系.我們先給出區(qū)別于第二章的另一種形式的例外簇概念,接著證明了當MVI(K,F,φ)無例外簇時必有解,本章的主要結論如下:定理3.2.2設K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,x∈X為任意給定的點且F:K→2X*為緊容許映射,φ:K→R∪{+∞}為凸下半連續(xù)泛函,若MVI(K,F,φ)無解,則F存在關于x的例外簇.推論3.2.1設K為自反Banach空間X的非空閉凸子

6、集,x∈X為任意給定的點且FK→2X*為緊容許映射,φ:K→R∪{+∞}為凸下半連續(xù)泛函,若F沒有關于x的例外簇,則MVI(K,F,φ)有解.
　　第四章,利用第三章當F沒有關于x的例外簇時MVI(K,F,φ)有解這一結論,我們討論當映射為上符號連續(xù)時MVI(K,F,φ)無例外簇的一些條件;進一步,當映射關于某泛函擬(偽)單調時,我們還獲得了MVI(K,F,φ)解存在的一些充分必要條件.本章的主要結論如下:定理4.2.2設K為自反

7、Banach空間X的非空閉凸子集,x∈X為任意給定的點,F:K→2X*為緊容許的擬單調上符號連續(xù)映射,對于下述的三個命題:(ⅰ)存在K的有界子集D,使得:(ⅱ)對于滿足||xr-x||→+∞的任意序列{xr}(?) K,存在xr0∈{xr}及y∈K,滿足以下條件:(ⅲ)F不存在關于x的例外簇,從而MVI(K,F,φ)有解.則有(ⅰ)(?)(ⅱ),(ⅱ)(?)(ⅲ).定理4.2.3設K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,F:K→2X*

8、為緊容許的擬單調上符號連續(xù)映射,考慮以下的的三個命題:(ⅰ)存在x*∈K,使得K＜(x*)={x∈K:＜f,x-x*＞+φ(x)-φ(x*)＜0,(?)f∈F(x)}是有界集(可能為空集);(ⅱ)存在X中的開球Ω和x*∈K∩Ω,使得:(ⅲ)對任給的x∈X,F不存在關于x的例外簇,從而MVI(K,F,φ)有解.則有(ⅰ)(?)(ⅱ)(?)(ⅲ)成立.定理4.2.6設K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,int(barr(K))≠0,

9、F:K→2X*為緊容許的上符號連續(xù)映射,且F關于φ擬單調,若K∞∩((F+(?)φ)(K))0={0},則MVI(K,F,φ)有解.定理4.3.1設K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,int(barr(K))≠(?),F:K→2X*為容許的上符號連續(xù)映射,且F關于φ偽單調,則以下三個問題相互等價:(i)K∞∩((F+(?)φ)(K))0={0};(ii)存在常數ρ＞0,使得對任意滿足||x||＞ρ的x∈K,存在y∈K,使得:(ii