1、非線性問題來源非常廣泛,在工程、機(jī)械、物理、最優(yōu)控制等領(lǐng)域都有應(yīng)用.在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中非線性問題變得越來越重要了,它的數(shù)值解法特別是大規(guī)模問題的數(shù)值解法的研究已成為工程界和計(jì)算數(shù)學(xué)界一個(gè)非常熱門的課題.人們希望對(duì)離散后的n維方程組用(O)(n)次乘除運(yùn)算就能得到所需精度的解.而多重網(wǎng)格法首次實(shí)現(xiàn)了這個(gè)目標(biāo),成為求解大規(guī)模問題最有效的方法.近幾十年來,經(jīng)典的多重網(wǎng)格法已經(jīng)比較成熟,在求解非線性問題上取得很多重要成果.本文將研究半線性橢圓問題

2、和非光滑橢圓問題的多重網(wǎng)格解法.
　　 對(duì)于一般的半線性橢圓問題,通常要求其半線性項(xiàng)必須足夠光滑或?yàn)镃2連續(xù),因此,降低半線性項(xiàng)的光滑性十分重要.在第2章,我們考慮了半線性項(xiàng)導(dǎo)數(shù)局部H(o)lder連續(xù)時(shí)的半線性橢圓問題的數(shù)值求解.我們首先對(duì)這類問題進(jìn)行有限元離散,得到其標(biāo)準(zhǔn)有限元誤差估計(jì).我們?nèi)缓笥闷俨夹投嘀鼐W(wǎng)格法求解相應(yīng)的離散問題,證明了算法具有能量范數(shù)意義下的最優(yōu)收斂階和擬最優(yōu)計(jì)算復(fù)雜度.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了算法是非常有效的.<

3、br>　　 在第3章,我們提出了求解半線性橢圓問題的集中質(zhì)量瀑布型多重網(wǎng)格算法.首先用集中質(zhì)量方法對(duì)半線性橢圓問題進(jìn)行離散,得到了集中質(zhì)量有限元逼近形式的L2誤差估計(jì).用集中質(zhì)量方法離散半線性橢圓問題具有兩大優(yōu)點(diǎn):一方面.集中質(zhì)量方法離散所得的離散方程組的非線性函數(shù)的Jacobi矩陣很好計(jì)算,因?yàn)殡x散所得的方程是一個(gè)線性函數(shù)和一個(gè)對(duì)角非線性函數(shù)的和；另一方面,我們能構(gòu)造一些具有單調(diào)收斂性的迭代形式來求解相應(yīng)的離散方程組.基于之前的集中

4、質(zhì)量有限元誤差估計(jì),我們證明了集中質(zhì)量瀑布型多重網(wǎng)格算法的最優(yōu)性.我們也用數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了這一點(diǎn).
　　 在第4章,我們研究了非光滑橢圓方程的非光滑牛頓多重網(wǎng)格算法.我們首先考慮此類問題的有限元方法,給出其有限元逼近格式的誤差估計(jì).一般情況下,非光滑牛頓型方法被用于求解相應(yīng)的離散問題.而當(dāng)網(wǎng)格加密時(shí),相應(yīng)的牛頓子方程的系數(shù)矩陣條件數(shù)就會(huì)變壞,數(shù)值上不易于求解.而且,當(dāng)離散問題的規(guī)模很大時(shí),精確求解子問題需要很大的計(jì)算工作量.因此,

5、本章中,我們將在每個(gè)牛頓步采用多重網(wǎng)格技巧來求解相應(yīng)的牛頓方程.在適當(dāng)?shù)臈l件下,我們證明了算法的網(wǎng)格無關(guān)收斂性及最優(yōu)性.大量的數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了我們所得到的有限元誤差估計(jì)結(jié)果,并且也充分說明了算法的有效性.數(shù)值結(jié)果表明,當(dāng)網(wǎng)格步長(zhǎng)h越來越小的時(shí)候,和經(jīng)典的非光滑牛頓法或是有效集方法相比較,非光滑牛頓多重網(wǎng)格算法所消耗的CPU時(shí)間大大減少,從而節(jié)約了計(jì)算工作量.
　　 在第5章,我們提出了光滑化牛頓多重網(wǎng)格算法用于求解非光滑橢圓方程.