1、本文主要研究了一類由差分方程定義的正交多項式的漸近性質(zhì)，內(nèi)容包括：廣義Pollaczek正交多項式及其零點的漸近性質(zhì)，兩個不同的單位圓上的正交多項式序列的組合仍是單位圓上的正交多項式序列的一個充分必要條件，以及由差分方程定義的復(fù)正交多項式(其定義參看(1.18))的漸近零點分布。本文共分為六章。
　　 第一章簡單地給出漸近分析的歷史背景及一些基本知識，包括基本的定義，正交多項式和特殊函數(shù)Airy函數(shù)的一些性質(zhì)，以及一些經(jīng)典漸近分

2、析方法的簡單介紹。
　　 第二章我們引入由下面差分方程所定義的多項式(n+1)Pλn+1(x;a,b)=2[x(n+λ+a)+b]Pλn(x;a,b)-(n+2λ-1)Pλn-1(x;a,b)，n=1,2…,(1)初始條件為Pλ0(x;a,b)=1,Pλ1(x;a,b)=2x(λ+a)+2b.當(dāng)a＞|b|，λ＞0時，由(1)所定義的多項式是通常意義下的Pollaczek正交多項式，其權(quán)函數(shù)的支集是區(qū)間[-1，1].而在別的情況下

3、，比如b≥0且a≤b，此時由(1)所定義的多項式稱為廣義Pollaczek正交多項式，其權(quán)函數(shù)的支集是由連續(xù)部分[-1，1]和離散部分(可數(shù)點集)組成.所以從權(quán)函數(shù)的支集來看，廣義Pollaczek正交多項式與通常意義下的Pollaczek正交多項式的性質(zhì)會有所不同.但令人驚訝的是在此之前，廣義Pollaczek正交多項式的研究并不多。
　　 首先，不失一般性，我們從差分方程(1)的一個特殊情況(λ=1，a=0，b=-b，b＞0

4、)出發(fā)，得出Pn(x)的積分表達(dá)式。然后，利用積分法求出Pn(x)在整個實軸上的一致漸近展開，特別地，在關(guān)鍵點βn～1+b-n+…處的一致處理是從未遇到過的一種新情況.最后，利用Pn(x)的漸近結(jié)果得出其極端零點和αn，βn附近零點的漸近展開，并用表格給出了在關(guān)鍵點αn，βn，x1=√1+b2，和x2=√1+b2/4附近Pn(x)的零點的真實值與漸近值的比較。
　　 第三章直接從差分方程出發(fā)，我們首先得到了Pn(x)在區(qū)間[-1

5、，1]和區(qū)域C\[-1，1]內(nèi)的緊子集上的一致漸近展開，然后詳細(xì)分析了在關(guān)鍵點αn，βn處Pn(x)的一致漸近展開.我們得到的結(jié)果與第二章的結(jié)果吻合，從而在某種程度上說明了從積分和差分方程兩個不同出發(fā)點所得出的結(jié)果的一致性和統(tǒng)一性。
　　 第四章，我們的主要動機(jī)是用Riemann-Hilbert(簡寫為R-H)方法得出Pn(x)的漸近展開，這里出現(xiàn)的新情況是權(quán)函數(shù)w(x)是由區(qū)間[-1，1]和點集xn=√1+b2/n2，n=1，

6、2，…組成.據(jù)我們所知，這種情況的R-H問題的研究還沒有出現(xiàn)。首先，我們選擇一個簡單的例子，即權(quán)函數(shù)的支集是S(μ)=[-1，1]∪{2}的情況.目的是闡釋整個分析的過程及找出其與權(quán)函數(shù)支集是S(μ)=[-1，1]這種情況的不同之處.然后給出Pn(x)的R-H問題刻劃，但整個問題的分析還要繼續(xù)探討。這是因為雖然我們已經(jīng)知道在αn，βn處的擬基本解涉及到Airy函數(shù)，但是，怎樣求出平衡測度和怎樣進(jìn)行變換仍然是一個有待解決的問題.這也是作者

7、在未來的工作中將要考慮的問題之一。
　　 第五章給出組合apn(x)+bqn(x)仍是單位圓上正交多項式的充分必要條件，其中pn(x)，qn(x)都是單位圓上的不同正交多項式序列，他們的權(quán)函數(shù)都是定義在單位圓上的正波雷爾測度。
　　 第六章給出由差分方程所定義的復(fù)正交多項式的漸近零點分布，利用得到的結(jié)論，我們先給出一些前人通過其他方法所得出的結(jié)果，比如含有非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)的Jacobi，Laguerre多項式的漸近零點分布.然