1、為了攻克四色問題,1912年Birknoff在文獻中介紹了關于映射M的色多項式,記為P(M,λ),它是在映射M下的正常λ-色數(shù).如果能夠證明對于所有的映射M都有P(M,4)>0,這就對四色問題給出了一個肯定的回答.圖G的一個七頂點著色是指k種顏色1,2,…,k對于G的各頂點的-個分配；稱著色是正常的,如果兩個相鄰的頂點都分配到不同的顏色.無環(huán)圖G的-個正常k頂點著色是把V分成k個(可能有空的)獨立集的一個分類(V1,V2,…,Vk).當

2、G有-個正常k頂點著色時,就稱G是k頂點可著色的(簡稱為k可著色).G的色數(shù)x(G)是指使G為k可著色的數(shù)七的最小值；若x(G)=k,則稱G是k色的.
　　 圖G的色多項式就是至多用入種顏色對圖G進行正常著色所有可能的不同的方法數(shù),記作P(G,λ).對于-個正整數(shù)r,V(G)的-個分劃(A1,A2,…,Ar)就叫做圖G的-個r獨立分劃,如果Ai是圖G的非空獨立集.α(G,r)表示V(G)的r獨立分劃數(shù),那么G的色多項式可以寫成:

3、這里(λ)i=λ(λ-1)(λ-2)…(λ-i+1).
　　 如果P(G,λ)=P(H,λ),則圖G和H是色等價的,記為G～H.用表示與G色等價的所有圖組成的圖族.1978年,Chao和Whitehead在文獻中定義了-個圖是色唯一的如果沒有其它圖與它具有相同的色多項式.即:如果與圖G色等價的圖都與G同構,則稱圖G是色唯一的.
　　 本文主要利用色等價與色唯一的性質以及伴隨等價和伴隨唯一的性質來研究在完全三部圖K(n,n