1、非線性偏微分方程的求解作為非線性科學中的前沿研究課題和熱點問題，極具挑戰(zhàn)性。目前，雖然國內(nèi)外眾多學者已經(jīng)提出和發(fā)展了許多求非線性偏微分方程精確解和近似解的有效方法，但尚無統(tǒng)一而普適的方法，因此繼續(xù)尋找一些有效可行的方法依然是一項十分重要和極有價值的工作。本文在對非線性偏微分方程的現(xiàn)有解法進行了較為系統(tǒng)和深入研究的基礎上，對Riccati方程方法進行了改進，簡化、豐富和發(fā)展了已有結(jié)果，對傳統(tǒng)的F展開法進行了歸納、修正和推廣，并應用改進的R

2、iccati方程方法、Backlund變換法和F展開法研究一類非線性波系統(tǒng)，不但獲得了已有的結(jié)果，而且得到了許多有意義的新解。這對于發(fā)現(xiàn)新的孤立子、研究孤子方程的長期動力學行為和揭示孤子的結(jié)構(gòu)必將產(chǎn)生積極的影響。 然而，由于偏微分方程本身的復雜性，在目前尚無求通解的手段的前提下，能夠求特解的方程只是很少的一部分，而能夠精確求解的方程更是少之又少，因此研究方程的近似解成為新的熱點。隨著計算機科學的快速發(fā)展，應用計算機來給出非線性偏

3、微分方程的解析近似解在理論上已成為可能。本文在TTE的框架下，運用算子理論和方法，證明了組合KdV方程的解算子是可計算的，從而可以在計算機上給出該系統(tǒng)初值問題的解析近似解。這一工作屬國內(nèi)首創(chuàng)，極大地豐富和發(fā)展了非線性偏微分方程解法研究的內(nèi)容，具有重大的理論意義和應用價值。 全文共分八章。 首先對波問題及其求解方法與可計算理論的研究歷史和現(xiàn)狀進行了綜述； 第二章介紹了孤立波的有關知識，給出了孤立子的定義和發(fā)生機理，

4、對目前所知道的孤立子進行了分類； 第三章介紹了與本文相關的可計算性基本概念，給出了多種可計算空間的定義及其相應空間上的可計算性質(zhì)； 第四章將傳統(tǒng)的Riccati方程方法進行了改進，并應用該方法研究了非線性波系統(tǒng)的精確解。 第五章應用Backlund變換得到了變系數(shù)組合KdV-Burgers方程的N-類孤子解； 第六章應用F展開法及其擴展形式得到了變系數(shù)組合KdV方程和(n+1)維Sine-Gordon方程