1、本文研究如下幾類非線性矩陣問題和特殊結(jié)構(gòu)矩陣問題．
　　1．無阻尼陀螺系統(tǒng)給出無阻尼陀螺系統(tǒng)G(λ)=Mλ~2+Cλ+K的譜分解定理，其中M為質(zhì)量矩陣，K為剛性矩陣，C為陀螺矩陣，并利用該定理解決了特征值反問題和無干擾特征值嵌入問題．譜分解定理表明矩陣M，C，K的含反對稱參數(shù)矩陣S的譜分解式與實標(biāo)準(zhǔn)對(X，T)是一一對應(yīng)的．若由系統(tǒng)的譜信息構(gòu)造的矩陣T是分塊對角矩陣，則S具有類上三角Hankel塊結(jié)構(gòu)．特別地，當(dāng)系統(tǒng)只有半單的特征

2、值時，存在一個標(biāo)準(zhǔn)對使得S只有2n個非零元素，并且非零元素為1或-1．另外，譜分解定理還給出無阻尼陀螺系統(tǒng)的二次特征值反問題有解的充要條件和通解表達式．當(dāng)無阻尼陀螺系統(tǒng)只有單特征值時，無干擾特征值嵌入問題一定有解，并且可以推導(dǎo)出只包含已知的特征信息的通解表達式．
　　2．非線性矩陣方程的可解性和代數(shù)擾動分析系統(tǒng)地研究矩陣方程X~s±A~*X~tA=Q(s＞0，t＞0)的可解性、迭代算法和代數(shù)擾動分析．首先利用矩陣分解方法推導(dǎo)X~s

3、+A~*X~tA=Q存在Hermtian正定解的充要條件和通解表達式(如果解存在)．然后利用Brouwer不動點原理和特征值方法尋找Hermtian正定解的存在區(qū)間和存在唯一解的充分條件．將X~s-A~*X~tA=Q分為三種情況進行討論：當(dāng)s＜t時給出類最大解和類最小解的定義及存在的充分條件，并且推導(dǎo)出最大解存在的充分條件和能夠收斂到最大解的迭代公式；當(dāng)s＞t時設(shè)計求唯一解的一個新的迭代算法；當(dāng)s=t時給出唯一解的精確表達式．另外建立代

4、數(shù)擾動理論，分別給出唯一解、類最大解和類最小解的擾動上界．
　　3．實多項式矩陣方程的敏感性分析考慮實系數(shù)多項式矩陣方程X~s±A′X~tA=Q的對稱正定解的敏感性．首先給出擾動方程有唯一的對稱正定解的充分條件，然后給出能反應(yīng)對稱正定解的敏感性的測度—條件數(shù)的定義及其精確表達式．?dāng)?shù)值實驗表明該條件數(shù)能夠反映對稱正定解的敏感性．
　　4．子矩陣約束對稱廣義特征值反問題和最佳逼近問題給出對稱的廣義特征值模型的部分修正問題和最佳逼