1、本文研究的主要內(nèi)容包括:C-D對的構造方法與孤立子方程的精確解,包括行波解、周期解;Backlund變換的求法與孤立子間的關系;相似約化與古典Lie群和非古典Lie群方法;孤子族的生成和Lie群結構方程,Hamilton結構及Lax對表示;可積耦合的各種不同構造方法等多個方面.第二章介紹了C-D可積系統(tǒng)及其在孤立子方程精確求解中的作用,求得了許多有物理意義的非線性演化方程的精確解、奇性解、周期解和有理式解;同時還討論了生成C-D對的各種

2、方法;研究了利用C-D對(Lax對)構造Darboux變換的方法,作為應用得到了一類Duffing型方程的孤子解.本章最后,給出了含三個位勢的等譜問題對應的三類Darboux變換.第三章主要綜述了Backlund變換(BT)的構造方法,包括不含參數(shù)的BT和含參數(shù)的BT的構造方法.以Benjamin方程為例,給出了含參數(shù)的BT的疊加公式以及無窮守恒律的構造方法.第四章介紹和研究了非線性發(fā)展方程的相似約化,以熱傳導方程為例,說明了非古典Li

3、e群的構造方法;給出了利用非線性變換法求微分方程的相似約化的方法,得到了著名的Boussinesq方程的相似約化;特別地給出了直接約化的方法(CK方法)的改進,求得了廣義Burgers方程的各種形式的相似約化,包括行波約化、對數(shù)約化、冪形式約化、有理分式約化等,并用非古典Lie群方法一一驗證.第五章介紹和研究了非線性演化方程族的生成及其可積性問題.內(nèi)容包括幾個方面:(1)擴展了屠格式的應用范圍,將在loop代數(shù)A<,1>上的屠格式延拓到