1、這篇博士論文研究了隨機偏微分方程和金融衍生產(chǎn)品的定價問題。在隨機偏微分方程部分，基于方程解的存在唯一性，我們主要考慮了解的長時間行為:解的指數(shù)穩(wěn)定性以及二階矩穩(wěn)定性。在金融衍生產(chǎn)品定價部分，我們集中研究了幾類期權(quán)的方差最優(yōu)對沖策略和具有對手風(fēng)險（信用風(fēng)險）的期權(quán)定價問題。
　　隨機偏微分方程能夠較為準(zhǔn)確地刻畫如物理學(xué)、生物學(xué)中一些重要現(xiàn)象的量化規(guī)律，目前已成為概率論中極為活躍的學(xué)術(shù)熱點之一。例如，隨機Burgers方程一直是流體力

2、學(xué)中的一個很重要的方程，描述了物理問題中對流和耗散流之間的綜合過程，而隨機Kuramoto-Sivashinsky方程則描述的是物理學(xué)中電磁場的動態(tài)變化過程。在本文的第一章，我們考慮一類由補償泊松隨機測度驅(qū)動的Burgers方程和Kuramoto-Sivashinsky方程。在合適的假設(shè)條件下，我們證明了解的指數(shù)穩(wěn)定性以及二階矩穩(wěn)定性。第二章我們研究了由非高斯Levy過程驅(qū)動的波動方程的解的長時間行為。在第三章，我們考慮了由一階分式噪聲

3、驅(qū)動的熱方程。我們首先證明了解的存在唯一性。之后，我們討論了解的正則性問題以及利用該解來刻畫遠(yuǎn)期利率。
　　期權(quán)定價問題一直是學(xué)術(shù)界和業(yè)界的研究熱點。Black和Scholes開創(chuàng)性地研究了歐式期權(quán)的定價問題，為期權(quán)定價提供了一種嶄新的方法。其核心思想為構(gòu)造一個由期權(quán)和原生資產(chǎn)組成的無風(fēng)險交易組合，從而得到了期權(quán)價格表達(dá)式。隨著實證分析的驗證，數(shù)據(jù)顯示期權(quán)原生資產(chǎn)的價格應(yīng)該呈現(xiàn)隨機波動率或者重尾的特征。因而大量的模型被應(yīng)用到歐式期

4、權(quán)定價過程中，包括隨機波動率模型，跳擴散模型以及一般的Levy過程模型。在經(jīng)典的Black和Scholes模型下，市場為完全市場，因此期權(quán)是可以完全對沖的，即可以構(gòu)造出一個由期權(quán)和原生資產(chǎn)組成的無風(fēng)險交易組合。但是在一般的Levy過程模型下，市場為不完全市場，也就是說完全對沖策略是不存在的。那么，從風(fēng)險管理的角度看，在不完全市場，選擇一個合適的對沖策略是極其重要的。在第四章和第五章，我們采用方差最優(yōu)的方法來選擇亞式期權(quán)和目標(biāo)波動率期權(quán)的

5、對沖策略。通過將該方差最優(yōu)的問題轉(zhuǎn)化為求解收益變量的Follmer-Schweizer分解，我們獲得了離散時間下未定權(quán)益的Follmer-Schweizer分解的清晰表達(dá)式，進(jìn)而得到了方差最優(yōu)對沖策略的表達(dá)式。最后，我們運用逼近的方法求解了連續(xù)時間模型下目標(biāo)波動率期權(quán)的Follmer-Schweizer分解，從而得到連續(xù)時間下清晰的對沖策略。
　　在場外市場，金融機構(gòu)和企業(yè)也有大量的金融期權(quán)等衍生產(chǎn)品的交易。不同于交易所交易的期權(quán)

6、，場外市場的期權(quán)交易沒有保證金制度，因此場外市場的期權(quán)持有人面臨交易對手違約的可能。要對具有對手風(fēng)險的期權(quán)進(jìn)行定價，一個至關(guān)重要的問題是如何刻畫交易對手的違約。在第六章，我們采用跳擴散過程來刻畫原生資產(chǎn)和交易對手的資產(chǎn)過程并且采用經(jīng)典的結(jié)構(gòu)化方法刻畫交易對手的信用違約。我們將跳部分表示為系統(tǒng)性風(fēng)險和特定風(fēng)險兩部分，系統(tǒng)性風(fēng)險同時影響原生資產(chǎn)和交易對手的資產(chǎn)過程。在該模型的假設(shè)下，我們求解了具有對手風(fēng)險的期權(quán)價格?；谖覀兊玫降膬r格表達(dá)式