1、近年來為了更好地利用Heegaard距離來研究Heegaard分解,人們更多地從Heegaard曲面的曲線復(fù)形的角度去看Heegaard分解.
　　Masur和Minsky研究了曲線復(fù)形的許多特征.特別的,他們給出了緊致平環(huán)的曲線復(fù)形的定義并且研究了這種特殊曲線復(fù)形的一些拓?fù)浼皫缀涡再|(zhì).他們還證明了如下一個重要的結(jié)論:假設(shè)A是一個緊致的平環(huán),若a,b為曲線復(fù)形C(A)中的任意兩個頂點,則有dc(a,b)≤1+i(a,b),其中i(

2、a,b)為a,b的內(nèi)部相交數(shù).
　　本文主要是研究帶有三個洞的球面中的本質(zhì)弧和這個曲面的弧復(fù)形中的距離.假設(shè)P是帶有三個洞的球面,本文先是研究了它當(dāng)中的本質(zhì)弧,即不能同倫到aP上的弧.P的三個邊界分別設(shè)為C1,C2,C3,取定兩個特殊的定點A∈C1,B∈C2,連接A,B的弧AB→我們用(A,B;0,0,0)表示.設(shè)A為起點,B為終點,逆時針旋轉(zhuǎn)為正方向,順時針旋轉(zhuǎn)為負(fù)方向.我們在C1,C2,C3上都賦予正向,則有以下兩個結(jié)論：（1

3、）任意一條端點分別是A,B的弧均可以用(A,B;m,n,k)來表示,其中,m,n∈Z,k=0,1或者-1.（2）任意一條以▽p∈C1,p≠A為起點,以▽q?∈C2,q≠B為終點的弧均可以用(p,q;m,n,k)來唯一表示,其中m,n∈Z,k=0,1或者-1.
　　接著本文將緊致平環(huán)中的曲線復(fù)形的定義推廣到帶有三個洞的球面P上,稱這個曲線復(fù)形為曲面P的弧復(fù)形,用A(P)來表示,我們研究這個弧復(fù)形中任意兩個頂點之間的距離,得到以下的結(jié)