1、萬物皆數(shù) — 畢達(dá)哥拉斯,方法就是把我們應(yīng)注意的事物進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼砗团帕? — R.Descartes,數(shù)學(xué)實驗,個人住房抵押貸款及其它金融問題,上海交大數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,實驗?zāi)康?? 介紹差分方程,? 復(fù)習(xí)：數(shù)列及其極限、線性代數(shù)方程組、 矩陣及其運算、方程的求根,? 運用 Matlab 進(jìn)行迭代運算、求根、 矩陣等運算,? 學(xué)習(xí)相關(guān)問題建模,實際案例,1998年12月

2、，中國人民銀行公布了新的存、貸款利率水平 ,其中貸款利率如下表所列:,? 中國人民銀行再次調(diào)整存、貸款利率,貸款期限半年 1年 3年 5年 5年以上利率/ ％6.12 6.39 6.66 7.20 7.56,(當(dāng)貸款期處于表中所列相鄰年限之間時，利率為對應(yīng)相鄰兩數(shù)中較大者.),上海商業(yè)銀行對個人住房商業(yè)性貸款利率作出相應(yīng)調(diào)整，公布新的利率表和還款表,? 上海個人住房商業(yè)性貸款利率再次降低,個人住房商業(yè)

3、抵押貸款年利率表 貸款期限 1年 2年 3年 4年 5年 利率（％） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660,個人住房商業(yè)抵押貸款(萬元)還款表 貸款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48

4、 60月還款額 到期一次還清 444.356 305.9896 237.2649 196.4118本息總額 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,提出問題,個人住房商業(yè)抵押貸款年利率表和個人住房商業(yè)抵押貸款還款表是如何根據(jù)中央銀行的貸款利率水平制定的？,分析一下年利率和月還款額表,貸款期限 1年 2年 3年 4年

5、 5年利率（％） 6.120 6.255 6.390 6.525 6.660貸款期 年 1 2 3 4 5 月 12 24 36 48 60月還款額 到期一次還清 444.356 305.9896 237.26

6、49 196.4118本息總額 10612.0 10664.54 11015.63 11388.71 11784.71,,建立模型與求解,則由Ak 到Ak+1，應(yīng)有 Ak+1-Ak＝rAk- m,Ak+1＝(r＋1)Ak -m (k = 0,1,…),其中 r 為月利率 r ＝0.06255/12＝0.0052125,設(shè)貸款后第k 個月時欠款余數(shù)為Ak ,月還款額m 元,嘗試自己推導(dǎo),表達(dá)式,Ak＝A0

7、(1+ r)k－[(1+ r)k－1]m/r,作業(yè)1,,,即得模型,A0＝10000, k＝24 ,A24=0，r＝0.0052125,M＝[A0(1+ r)k r]/[(1+ r)k－1],? 考慮二年期情況：,利用Matlab,function m2_0(R,k)A0=10000;r=R/12;m=A0*(1+r)^k*r/((1+r)^k-1),可以驗證還款表的各項數(shù)據(jù),,? 年利率如何得到,比較央行公布貸款利率與上海住房商

8、業(yè)貸款，有數(shù)字相同：6.12％、6.66％，年限不同 優(yōu)惠,中間年限的利率如何得出 (線性插值),任務(wù)1：制定住房商業(yè)性貸款利率表和還款表,? 還款周期越短越好嗎,如果逐年還款，對二年期貸款用公式(r應(yīng)為年利率)算得年還款額，5473.867元,本息總額10947.63元，比逐年還款本息總額10664.54元多,任務(wù)4：討論還款周期問題,任務(wù)2,請自己到銀行了解最新住房貸款利率,3年：6.65 5年：6.90,半年：6.1 1

9、年：6.56,試制作一張為期1－20或30年的貸款利率,5年以上：7.10,表和還款表,參考數(shù)據(jù)：2011年的上海某銀行住房貸款利率,其它金融或經(jīng)濟問題,? 養(yǎng)老保險,某保險公司的一份材料指出：在每月交費200元至60歲開始領(lǐng)取養(yǎng)老金的約定下，男子若25歲起投保，屆時月養(yǎng)老金2282元；若35歲起投保，月養(yǎng)老金1056元；若45歲起投保，月養(yǎng)老金420元.,? 問題,交保險費所得利率如何？(假定投保人所得完全由其交款及利息產(chǎn)生),(

10、注意：顯然結(jié)果依于投保人壽命),累計總額為Fk，那么易得到數(shù)學(xué)模型為分段表示的,Fk+1=Fk(1+ r)＋ p, k = 0,1,…, NFk+1=Fk(1+ r)－ q, k =N+1,…, M,其中p、q分別為60歲前所交月保險費和60歲起所領(lǐng)月養(yǎng)老金的數(shù)目(元)，r是所交保險金獲得的利率，N, M分別是自投保起至停交保險費和至停領(lǐng)養(yǎng)老金的時間(月).顯然 M 依賴于投保人的壽命,取 M =

11、 75(歲) （統(tǒng)計平均值）,以25歲起投保為例,則有 P = 200, q = 2282; N = 420, M = 600,設(shè)投保人在投保后第k個月所交保險費及利息的,差分方程,可推出差分方程的解(自己推導(dǎo)一下),Fk = F0 (1+ r )k ＋[(1+ r )k－1] p/r, k = 0, 1,…, N Fk = FN (1+ r )k －N ＋[(1+ r )k－1] q/r,

12、 k =N+1,…, M,注意 F0 = FM = 0，消去FN ，,(1+ r )M－ (1+ q/p ) (1+ r )M－N + q/p ＝0,記 x＝ 1+ r， 代入數(shù)據(jù) x600－12.41x180＋11.41＝0,( Newton 法,方程求根),作業(yè)2,,,使用Matlab,? 交保險費所得月利率為 0.00485 年利率為 0.0582,function y=m2

13、_1(x)M=600;N=420;p=200;q=2282;y=x.^M-(1+q/p)*x.^(M-N)+q/p;,制作m文件,format long g fsolve(@m2_1,1.01),鍵入,任務(wù) 3 一個購房貸款的比較,房產(chǎn)商介紹的一家金融機構(gòu)提出：貸款100萬元，每半月還款4403.3元, 22年還清, 不過由于中介費手續(xù)費等原因，貸款時要預(yù)付40000元.,小李夫婦曾經(jīng)準(zhǔn)備申請商業(yè)貸款100萬元用于購

14、置住房，每月還款8806.6元，25年還清.,小李考慮，雖然預(yù)付費用不少，可是減少三年還款期意味著減少還款近3 2萬元，而每月多跑一趟，那不算什么.這機構(gòu)的條件似乎還是蠻優(yōu)惠的.,試分析情況是否這樣？,,某保險公司的推出結(jié)合養(yǎng)老的壽險計劃，例子為：若40歲的男性投保人每年交保險費1540元，交費期20年至60歲,任務(wù)5：一個人壽保險計劃的利率分析,試分析：若該投保人的壽命為76歲，其交保險費所獲得的實際年利率是多少？若該投保人的壽命

15、為74歲，其交保險費所獲得的實際年利率又是多少？,則在他生存時期，45歲時(投保滿5年)可獲返還補貼4000元，50歲時可獲返還補貼5000元，其后每隔5年可獲增幅為1000元的返還補貼；而在投保人去世或殘廢時，其受益人可獲保險金20000元,每過一周 A 城公司基金10％ → B 城公司 A 城公司 ← B 城公司基金12％,金融公司的支付基金的流動,(形式推廣的新問題),總額$540萬基金,放置A公司和B公司

16、要求：周末結(jié)算時總額仍為$540萬,A公司基金額A0＝$260萬 B公司基金額B0＝$280萬,? 問題 資金流動趨勢？ 會否少于警戒數(shù)＄220(萬),數(shù)學(xué)模型,設(shè)第k周末結(jié)算時,A城公司和B城公司支付基金數(shù)分別為ak和bk(單位:萬美元),則有,差分方程組,ak+1= 0.9ak + 0.12 bkbk+1= 0.1ak + 0.88 bk,? 觀察數(shù)據(jù) 通過對數(shù)據(jù)的觀測估計結(jié)論,(12周數(shù)據(jù)

17、),利用Matlab,function m2_2(n)a0=260;b0=280;a(1)=0.9*a0+0.12*b0;b(1)=0.1*a0+0.88*b0;for k=1:n-1 a(k+1)=0.9*a(k)+0.12*b(k); b(k+1)=0.1*a(k)+0.88*b(k);endab,可看到變化趨勢，能不能求出方程解？,(分別求出an,bn 與n 的關(guān)系式),12周的變化數(shù)據(jù),任務(wù) 6,

18、ak是否有上界、bk是否有下界? bk是否會小 于220？,完成這個問題的分析：,? 利用矩陣形式,由此式討論 k→∞ 的情況,可導(dǎo)出表達(dá)式,作業(yè)3,,,? 能不能求出方程解？,(分別求出an,bn 與n 的關(guān)系式),關(guān)于任務(wù)6,任務(wù)7,根據(jù)兩地公司的業(yè)務(wù)情況，該金融機構(gòu)決定在每周末結(jié)算時，將A城公司的基金增加$6萬，相應(yīng)地B城公司的支付基金減少$6萬.,此時，機構(gòu)中一位的職員(他曾就讀于某大學(xué)數(shù)學(xué)系)向機構(gòu)負(fù)責(zé)人建議將

19、增減數(shù)額改為$5.5萬.,試問機構(gòu)負(fù)責(zé)人是否應(yīng)該采納這個建議，為什么？,在完成任務(wù)時所附的作業(yè),? 1.貸款A(yù)0，月利率r，月還款額m ，推導(dǎo)第k 個月后時欠款余數(shù)Ak 的表達(dá)式,? 2.投保人每月交保險費p，交了m個月后每月領(lǐng)養(yǎng)老費可領(lǐng)n個月，若所領(lǐng)款全由交費及其利息產(chǎn)生(月利率r)，求投保人每月領(lǐng)養(yǎng)老費額,? 3.若,2002年10月24日發(fā)行的面值100元年利率2.65%的5年期記帳式國債，期內(nèi)每年10月24日派發(fā)利息2.65元