1、1,第一章 概 述 第一節(jié) 數學是什么,2,一、數學的“定義”,恩格斯：數學是研究現實世界中的數量關系與空間形式的一門科學。 隨著時間的推移，數學大大發(fā)展了，諸如事物的結構、數理邏輯等，都成為數學的研究對象；這些，似乎不能包含在上述定義中。人們在尋找數學的新“定義”。 但是，要給數學下個定義，并不那么容易。至今難以有關于“數學”的、大家取得共識的“定義”。,3,1．古

2、今數學家的說法 （美）R·柯朗（《數學是什么》）：“數學，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性?！?4,（法）E·波萊爾： “數學是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學?！保ㄓⅲ┝_素：“數學是所有形如p蘊含q的命題的類”， 而最前面的命題p是否對，卻無法判斷。 因此“數學是我們永遠不知道我們

3、在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學科?！?5,1）哲學說2）符號說　3）科學說　4）工具說　5）邏輯說　6）創(chuàng)新說　7）直覺說 8）集合說,9）結構說（關系說） 10）模型說 11）活動說 12）精神說 13）審美說 14）藝術說　15）萬物皆數說,2．數學的15個“定義”,6,15個“定義” 來自,7,只 講解“哲學說”，其他只作一句話的解釋，并請查資料。 哲學說

4、,亞里士多德：“新的思想家把數學和 哲學看作是相同的?！眮碜怨畔ＥD，亞里士多德、歐幾里得 等人?！稁缀卧尽罚狐c是沒有部分的那種東西； 線是沒有寬度的長度牛頓在《自然哲學之數學原理》的序言中說，他是把這本書“作為哲學的數學原理的著作”，“在哲學范圍內盡量把數學問題呈現出來”。,8,哲學

5、是研究最廣泛的事物，數學也是研究最廣泛的事物，這是它們的共同點。但是，數學與哲學的研究對象不同，研究方法也不同。 兩者雖有相似之處，但數學不是哲學的一部分， 哲學也不是數學的一部分。 現在有人說“哲學從一門學科中退出， 意味著這門學科的建立；而數學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟。”,9,符號說：是說數學是一種高級語言，是符號的世界。科學說：是說數學是精密的科學，“數學是科學的皇后”。工具說：是

6、說“數學是其它所有知識工具的源泉”。 邏輯說：是說數學推理依靠邏輯，“數學為其證明所具有的邏輯性而驕傲?！?10,創(chuàng)新說：是說數學是一種創(chuàng)新，如發(fā)現無理數，提出微積分，創(chuàng)立非歐幾何。直覺說：是說數學的基礎是人的直覺，數學主要是由那些直覺能力強的人們推進的。集合說：是說數學各個分支的內容都可以用集合論的語言表述。 結構說（關系說）：是強調數學語言、符號的結構方面及聯系方面，“數學是一種關系學”。,11,模型說：是說數學就是研究各種

7、形式的模型，如微積分是物體運動的模型，概率論是偶然與必然現象的模型，歐氏幾何是現實空間的模型，非歐幾何是非歐空間的模型?；顒诱f：是說“數學是人類最重要的活動之一”。精神說：是說“數學不僅是一種技巧，更是一種精神，特別是理性的精神。”,12,審美說：是說“數學家無論是選擇題材還是判斷能否成功的標準，主要是美學的原則。” 藝術說：是說“數學是一門藝術。” 萬物皆數說：是說數的規(guī)律是世界的根本規(guī)律，一切都可以歸結為整數與整數比。,13

8、,方延明：數學是研究現實世界中數與形之間各種形式模型的結構的一門科學。 徐利治：數學是“實在世界的最一般的量與空間形式的科學，同時又作為實在世界中最具有特殊性、實踐性及多樣性的量與空間形式的科學”。 回到恩格斯的定義： 數學是研究（現實世界中的）數量關系與空間形式的一門科學。,14,[思]： 請你在學習“數學文化”課的過程中，始終帶著下面的問題——在學完“數學文化”課后，給出一

9、個你自己對“數學”的定義。,15,二、數學的特點 抽象性 精確性 應用的廣泛性,16,1．抽象性 第一，數學的研究對象本身就是抽象的； 第二，在數學的抽象中只保留量的關系和空間形式而舍棄了其他一切； 第三，數學的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超過了其它學科中的抽象； 第四，核心數學主要處理抽象概念和它

10、們的相互關系。,17,2．精確性 數學的精確性表現在數學推理的邏輯嚴格性和數學結論的確定無疑性。 漢克爾說：“在大多數科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數學，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓?！?作為對照的三個例子： ① 電子管電路→ 半導體電路→ 集成電路 ② 地心說→日心說→開普勒三定律 ③ 高溫超導的上界（朱經

11、武） 30ºK→90ºK→120ºK →240ºK,18,關于“晶體的結構有多少種”的討論,曾經，許多物理學家、化學家、晶體學家給出了各不相同的結論。數學家介入以后，運用“群”的理論，得到了明確的答案：晶體的結構只能有240種。 而且，數學家的推理是如此精確，讓人信服，使得之后就不再有人去研究這一問題了，因為結論已經確定無疑。,19,3．應用的廣泛性 華羅庚：宇宙之大，粒

12、子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數學無處不在。 例子：①哈雷彗星的發(fā)現； ②海王星的發(fā)現； ③電磁波的發(fā)現。,20,哈雷彗星的發(fā)現,古時人們認為彗星的出現是不祥之兆，直到17世紀，英國天文學家哈雷開始計算彗星軌道時，發(fā)現1682年、1607年和1531年出現的彗星有相似的軌道，他判斷這三顆彗星其實是同一顆彗星，并預言它將在1

13、758年底或1759年初再次出現。1759年，這顆彗星果然出現了。雖然哈雷已在此前的1742年逝世，但為了紀念他，這顆彗星稱為“哈雷彗星”。　　哈雷彗星的回歸周期為76年，最近一次的回歸是在1986年；下一次回歸是在2062年。,21,海王星的發(fā)現,這個太陽系最遠的行星（之一）， 是1846年在數學計算的基礎上發(fā)現 的。天文學家分析了天王星運動的 不規(guī)律性，推斷出這是由其他行星 的引力而產生的。勒未累計

14、算出它 應處的位置，觀察員在指定位置發(fā)現 了該行星。 航海家2號拍攝, 1989.8.,22,電磁波的發(fā)現,英國物理學家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數學的方法推導出可能存在著電磁波并且這些電磁波應該以光速傳播者。據此，他提出

15、了光的電磁理論。此外，他的結論還推動了人們去尋找純電起源的電磁波。 24年后，德國物理學家赫茲在振蕩放電實驗中證實了電磁波的存在，不久，意大利的馬可尼和俄國人波波夫又在此基礎上獨立地發(fā)明了無線電報。從此，電磁波走進了千家萬戶。,23,三、數學與其它領域的聯系 1.數學與教育 數學對于受教育者，不僅僅是學會一門課程、一門知識、更重要的是學習數學的思想、方法、精神；把數

16、學作為成才的基本素質要求。,24,1）波利亞：“讓我們教猜想吧！” 波利亞還說：“在數學家證明一個定理之前，必須猜想到這個定理；在他完成證明的細節(jié)之前，必須先猜想出證明的主導思想?！?事實上，教育并不總是在讓學生認知，教育在很大程度上是讓學生欣賞，只有這樣，才有最佳的教育效益。,25,2）作為數學教授的大學校長：,丁石孫——北京大學蘇步青——復旦大學谷超豪——中國科大潘承洞——山東大學齊民友——武漢大學伍卓群

17、——吉林大學侯自新——南開大學李岳生——中山大學曹策問——鄭州大學楊思明——湘潭大學展 濤 ——山東大學,黃達人——中山大學吳傳喜——湖北大學周明儒——徐州師大王梓坤——北師大陸善鎮(zhèn)——北師大王建磐——華東師大史寧中——東北師大路 鋼——華中師大邱玉輝——西南師大王國俊——陜西師大庾建設——廣州大學房靈敏——西藏大學,26,大學校長是綜合素質比較好的學者；眾多大學校長都是數學教授，這也說明數

18、學教育對人的綜合素質的提高，影響很大。 有些人把它叫做 有趣的中國現象,27,丁石孫：北京大學校長,丁石孫：北京大學校長 （1984-1989年） 全國人大常委會副委員長，民盟中央名譽主席。漢族，1927年9月生，江蘇鎮(zhèn)江人，民盟成員、中共黨員，1950年參加工作，清華大學數學系畢業(yè)，大學學歷，教授。專長:代數、數論。,28,蘇步青，復旦大學校長,蘇步青：復旦大學校長（1978-1983年） 1902年生于

19、浙江，2003年卒于上海。中國科學院院士。他是國際公認的幾何學權威，我國微分幾何學派的創(chuàng)始人。早在20年代，他的仿射不變的四次（三階）的代數錐面，被命名為蘇錐面。他的仿射微分幾何的高水平工作，至今在國際數學界仍享有很高的評價。,29,谷超豪，中國科技大學校長,谷超豪：中國科技大學校長 簡歷： 1926年生于浙江溫州。1948年畢業(yè)于浙江大學數學系，1953年起在復旦大學任教，1957年赴前蘇聯莫斯科大學進修，獲科學博士學

20、位。歷任復旦大學副校長和中國科技大學校長。1980年當選為中國科學院數學物理學部委員。專長偏微分方程、微分幾何和數學物理 。,30,潘承洞，山東大學校長,潘承洞：山東大學校長 （1986年-1997） 1934出生，江蘇省蘇州市人。1997年12月27日在濟南病逝。中國科學院院士。1981年與其胞弟潘承彪合作編著的《哥德巴赫猜想》一書，為世界上第一本全面系統地論述哥德巴赫猜想研究工作的專著；1982年與王元、陳景潤共同以哥德

21、巴赫猜想的研究成果獲國家自然科學一等獎。,31,齊民友，武漢大學校長,齊民友：武漢大學校長（1988-1992年） 1930年出生，1952年畢業(yè)于武漢大學數學系，并從事偏微分方程 理論的研究。武漢大學博士導師。,曾任國務院學位委員會數學組成員。中國數學會副理事長，湖北省數學會理事長。1984年起任武漢大學副校長，1988年任武漢大學校長。,32,李岳生，中山大學校長,李岳生：中山大學校長 （1984-1991年）

22、 1930年1月生，中山大學教授，博士生導師。曾任中山大學校長、計算機科學系主任、數學研究所所長；國務院學位委員會第二、三屆學科評議組成員，從事常微分方程、計算數學、微分方程數值解法、樣條函數與變分方法等方面的研究。,33,曹策問，鄭州大學校長,曹策問：鄭州大學校長 簡歷：1940年2月出生，湖南長沙人。1957年9月進入北京大學數學力學系數學專業(yè)學習；1963年9月在北京大學數學力學系讀研究生；1979年3月任鄭州大學

23、數學系教師，1986年任教授；1987年2月任鄭州大學副校長；1994年起任校長；；2003年1月任政協河南省第九屆委員會副主席。專長：可積動力系統。,34,展?jié)?，吉林大學校長,展?jié)?，男，回族?963年4月出生，山東兗州人，中共黨員，理學博士，教授，博士生導師。1979年9月入山東大學數學系學習，先后獲得學士、碩士、博士學位；1987年留校任教，先后被評聘為講師、副教授、教授；1991年1月至1992年12月獲德國洪堡基金會獎勵基金，

24、赴德國弗萊堡大學從事合作研究；1993年4月任山東大學數學系副主任；1995年3月任山東大學副校長；1996年12月任山東大學黨委常委、副校長；2000年7月任山東大學黨委常委、校長。,35,黃達人，中山大學校長,黃達人，男，1945年4月生，浙江象山人。1962年至1968年就讀于浙江大學數學系。1978年至1981年在浙江大學數學系讀研究生，畢業(yè)后留校任教。1985年至1986年作為訪問學者在美國南卡羅來納大學數學系進修訪問一年

25、。1988年任浙江大學數學系教授。曾任浙江大學數學系副主任、范歲久醫(yī)學圖像實驗室主任、教務處長、副教務長等職。1992年至1998年任浙江大學副校長。1998年11月調任中山大學常務副校長。1999年8月至今任中山大學校長。 學術研究領域為函數逼近論、小波分析、信號和圖像處理。,36,吳傳喜，湖北大學,吳傳喜1961年7月出生。教授，博導。北京大學數學系畢業(yè)，獲理學博士學位。2000年1月擔任湖北大學校長。研究方向：現代微分幾何

26、,37,周明儒，徐州師范大學,38,王梓坤，北京師范大學校長,王梓坤：北京師范大學校長 （1984-1989年） 1929年4月生,江西吉安縣人。1952年畢業(yè)于武漢大學數學系。1955年考入蘇聯莫斯科大學數學力學系做研究生，師從于數學大師 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南開大學講師、教授。1984年以來任北京師范大學教授。1984年至1989年任北京師范大學校長。199

27、1年當選為中國科學院院士。王梓坤是我國概率論研究的先驅和主要領導者之一。,39,王建磐，華東師范大學校長,王建磐：華東師范大學校長 簡歷：1949年1月2日生于福建古田縣。數學教授、博士生導師。1967年高中畢業(yè)后曾插隊農村，當過中學民辦教師和縣劇團編劇。1978年靠自學考取華東師范大學數學系研究生，1981年獲理學碩士學位并留校工作，1982年考取本校在職博士研究生并于當年獲得理學博士學位，是我國首批18位自己培養(yǎng)的博士之一。

28、1991年聘為教授。1997年起任華東師范大學校長。主要研究領域為代數群與量子群，在代數群的模表示和量子群的表示理論上均有重要建樹。,40,史寧中，東北師范大學校長,史寧中：東北師范大學校長 （1998年- ） 1975年畢業(yè)于東北師范大學數學系。1982年至1989年赴日本九州大學理學部學習，先后獲得碩士、博士學位，是我國改革開放后首批公費留學的博士生。1989年回國后，任教于東北師范大學數學系。1992年起任教授。199

29、3年被評為博士生導師。1997年當選國務院學位委員會學科評議組成員。主要從事數理統計研究，研究方向涉及多元分析、傘型半序約束、 列聯表、凸分析等 。,41,路 鋼，華中師范大學,42,侯自新，南開大學校長（1995年-2006年）,侯自新教授曾任南開大學數學系主任、校長助理、副校長、研究生院院長、中國數學學會副理事長、天津市學位委員會副主任，九屆全國人民代表大會代表，天津市十四屆人民代表大會常務委員會委員?，F任十屆全國人民代表大會代表、

30、中國高等院校數學研究與高等人才培養(yǎng)中心主任、中國老教授協會副會長、天津市教育發(fā)展基金會副理事長?！　『钭孕陆淌诙嗄陱氖吕钊骸⒗畲鷶导褒R性空間微分幾何等方面的研究與教學工作。,43,2.數學與文學 1）用數學方法對作品和語言進行寫作風格分析、 詞匯相關程度和句型頻譜分析 例：《紅樓夢》前80回與后40回的作者是否相同？ 1980年6月，在美國威斯康辛大學召開的

31、國際首屆《紅樓夢》研討會上，來自威斯康辛大學的華裔學者陳炳藻先生宣讀了一篇《從詞匯上的統計論〈紅樓夢〉的作者問題》的博士論文，引起了國際紅學界的關注和興趣。1986年，陳炳藻教授公開發(fā)表了《電腦在文學上的應用：〈紅樓夢〉與〈兒女英雄傳〉兩書作者》的專著。利用計算機對《紅樓夢》前八十回和后四十回的用字進行了測定，并從數理統計的觀點出發(fā)，探討《紅樓夢》前后用字的相關程度。他將《紅樓夢》的一百二十回分為三組，每組四十回。并將《兒女英雄傳》作為

32、第四組進行比較，從每組中任意取出八萬字，分別挑出名詞，動詞，形容詞，副詞，虛詞這五種詞匯，運用數理語言學，通過計算機程序對這些詞進行編排，統計，比較和處理，進而找出各組相關程度。結果發(fā)現《紅樓夢》前八十回與后四十回的詞匯相關程度達到78.57%，而《紅樓夢》與《兒女英雄傳》的詞匯相關程度是32.14%。由此他推斷出《紅樓夢》的作者為同一個人所寫的結論。這個結論是否被紅學界所結受，還存在一定的爭論。但是這種方法卻給很多人留下了深刻的印象。

33、 《靜靜的頓河》的作者是肖洛霍夫。,44,2）語言學好比一個公理化系統 （語法好比法則和定理） 3）語音學（關于語調）的研究 計算機模擬人的語調，并繪出直觀的三維圖像， 是南開大學中文系與計算機系合作的一個成果，曾 獲得國家級教學成果二等獎。 其中大量用到數學。,45,3.數學與史學

34、 1）史衡學 數學的介入，使史學的研究成果更加客觀、嚴謹，較多地排除了人為因素。 2）考古對數學史研究的推進 1986年上海陸家咀發(fā)現元朝玉掛，談祥柏教授研究后發(fā)現，它是一個四階完全幻方。過去以為只有印度歷史上才有這種“完全幻方”。,46,4.數學與哲學 1）數學中“無限”的概念、“連續(xù)”的概念，一經出現，便成了哲學研究的對象。 2）“哲學從一門學科中退出， 意味著這門學科的

35、建立；而數學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟?！?B.Demollins:“沒有數學，我們無法看透哲學的深度，沒有哲學，人們也無法看透數學的深度，而若沒有兩者，人們就什么也看不透?！?3）哲學系的“邏輯學”專業(yè)與數學系的“數理邏輯”專業(yè)。,47,5.數學與經濟 1）普遍運用數學，建立經濟模型 2）獲諾貝爾經濟學獎的學者中，數學家出身的和有數學背景的人占一半以上。

36、6.數學與社會學 1）定量社會學、實證社會學已經形成了一套邏輯嚴密的研究模式 2） “社會科學的許多重要領域已經發(fā)展到不懂數學的人望塵莫及的階段?！?48,7.數學與工程技術 1）“1991年的海灣戰(zhàn)爭就是信息戰(zhàn)爭、數學戰(zhàn)爭” 2）數學與工程技術的相互滲透，非常廣泛、深刻。 2000年 是聯合國宣布的“世界數學年”，聯合國教科文組織指出：“純粹數學與應用數學是理解世

37、界及其發(fā)展的一把主要鑰匙。”,49,趣味題一：抓堆和抓三堆,1. 抓堆： 有一堆谷粒（例如100粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？,50,從簡單的問題入手,有一堆谷粒（例如10粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？,51,數學思想：問題一般化；問題特殊化；歸納總結，找出規(guī)律；證明規(guī)律，得到結論。,52,問

38、題一般化,抓堆： 有一堆谷粒（例如 n 粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？ 問題特殊化n = 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，,53,“抓堆”游戲的結論,把“6的倍數”留給對方，自己可以取勝。 （“反面說法”）在 n = 100 時，甲抓 4 ?？梢匀?。,54,2

39、. 抓三堆： 有三堆谷粒（例如100粒、200粒、 300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆 中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？,55,從簡單的情形入手,有三堆谷粒（例如4粒、5粒、 6粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒。 甲先抓，規(guī)定“誰抓到最后一把誰贏”。問：甲應該如何抓？為什么？,56,游戲實錄,4 ，5 ，6

40、，,57,數學文化：問題一般化；問題特殊化；歸納抽象，找出規(guī)律；證明規(guī)律，得到結論。,58,抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應該如何抓？為什么？ 解： 問題一般化 記號：將三堆谷粒的狀況記為（a , b , c）, 例如（100 , 200 , 300）。 這樣，

41、誰抓為（0 , 0 , 0），誰贏。,59,分析： 問題特殊化 1）只有一堆時，即狀況為（a , 0 , 0）,此時先抓者必勝。,60,2）只有兩堆時，即狀況為（a , b , 0） （1）若b = a , 即狀況為（a , a , 0）,此時后抓者必勝。因為 對方先抓后，結果或剩一堆，成為（a , 0 , 0）的狀況， 一把可抓完；或剩兩堆，你抓后，又成為新的（d ,

42、 d , 0） 的狀況，且d a ,即狀況為（a , b , 0）, 此時先抓 者必勝。因為先抓者可以把第二堆抓掉b – a個，使狀況 轉化為（a , a , 0）, 成為新的“狀況（1）”。,61,3）三堆都有，且其中兩堆相等，即狀況為（a , a , c）,此時先抓者必勝。因為先抓者可以把第三堆全抓完，使狀況轉化為（a , a , 0）,成為新的“狀況 2)（1）”。4）三堆都有，且其中任意

43、兩堆都不相等， 即狀況為（a , b , c）, 且不妨設a < b < c ,此時 情況比較復雜。,62,為了下面表述得清楚，我們把前面的一個結論用“反面說法”，總結為 “把兩堆相等的狀況留給對方，自己可以取勝?！?然后再討論 a、b、c 的不同情況。以其中最小的a為“主要線索”分情況討論。,63,（1）a ＝ 1 時，即狀況為（1 , b , c）。 下

44、面再 對 b 分情況討論。 （2）a ＝ 2 時，即狀況為（2 , b , c）。 下面再 對 b 分情況討論。 （3）a ＝ 3 時，即狀況為（3 , b , c）。 下面再 對 b 分情況討論。 （4）a ＝ 4 時，即狀況為（4 , b , c）。 下面再 對 b 分情況討論。 等等，等等。,64,往下的討論，留作“課