1、[推薦推薦]V.I.Arnold論數(shù)學(xué)教育論數(shù)學(xué)教育(經(jīng)典經(jīng)典)V.I.Arnold論數(shù)學(xué)教育地點(diǎn)：PalaisdeDcouverteinParis時(shí)間1997年3月7日.數(shù)學(xué)是物理的一部分。物理學(xué)是一門(mén)實(shí)驗(yàn)科學(xué)，它是自然科學(xué)的一部分。而數(shù)學(xué)是物理學(xué)中只需要花費(fèi)較少的代價(jià)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的那一部分。例如Jacobi恒等式（保證三角形三條高交于一點(diǎn)）就是一個(gè)實(shí)驗(yàn)事實(shí)，正如同地球是圓的（即同胚于球體）這樣的事實(shí)一樣。但是發(fā)現(xiàn)前者卻要比發(fā)現(xiàn)后者需要較

2、少的代價(jià)。在20世紀(jì)中葉，人們?cè)噲D嚴(yán)格地區(qū)分物理與數(shù)學(xué)。其造成地后果是災(zāi)難性的。整整一代的數(shù)學(xué)家在對(duì)他們所從事的科學(xué)的另一半及其無(wú)知的情況下成長(zhǎng)，當(dāng)然，對(duì)其他的科學(xué)就更無(wú)知了。這些人又開(kāi)始把他們的丑陋的學(xué)院式的偽數(shù)學(xué)教給他們的學(xué)生，接著這些丑陋的偽數(shù)學(xué)又被交給中小學(xué)校里的孩子們（他們完全忘記了Hardy的警告：丑陋的數(shù)學(xué)在陽(yáng)光下不可能總有藏身之處）。既然那些從物理學(xué)中人為挖出來(lái)的學(xué)院式的數(shù)學(xué)既無(wú)益于教學(xué)，又對(duì)其他的科學(xué)毫無(wú)用處，結(jié)果可以

3、想見(jiàn)，全世界的人都討厭數(shù)學(xué)家（甚至包括那些被他們教出來(lái)的可憐的學(xué)校里的孩子們以及那些運(yùn)用這些丑陋數(shù)學(xué)的人）。這些先天不足的數(shù)學(xué)家被他們所患的低能癥候群折騰的筋疲力盡，他們無(wú)能對(duì)物理學(xué)有個(gè)起碼的了解。令人們記憶猶新的由他們建造的一個(gè)丑陋建筑物就是“奇數(shù)的嚴(yán)格公理化理論”。很顯然，完全可能創(chuàng)造這樣一種理論，使得幼稚的小學(xué)生們敬畏它的完美及其內(nèi)部構(gòu)造的和諧（例如，這種理論定義了奇數(shù)個(gè)項(xiàng)的和以及任意個(gè)因子的乘積）。從這種偏執(zhí)狹隘的觀點(diǎn)來(lái)看，偶數(shù)

4、或者被認(rèn)為是一類(lèi)“異端”，或者隨著時(shí)間流逝，被用來(lái)作為該理論中幾個(gè)“理想”對(duì)象的補(bǔ)充（為了遵從物理與真實(shí)世界的需要）。很不幸的是，這種理論只是數(shù)學(xué)中一個(gè)丑陋而變態(tài)的構(gòu)造，但卻統(tǒng)治了我們的數(shù)學(xué)教育數(shù)十年。它首先源自于法國(guó)，這股歪風(fēng)很快傳播到對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的教學(xué)里，先是毒害大學(xué)生，接著中小學(xué)生也難免此災(zāi)（而災(zāi)區(qū)最先是法國(guó)，接著是其他國(guó)家，包括俄羅斯）。如果你問(wèn)一個(gè)法國(guó)的小學(xué)生：“2＋3等于幾？”，他（她）會(huì)這樣回答：“等于3＋2，因?yàn)榧臃ㄟ\(yùn)算是

5、可交換的”。他（她）根本不知道這個(gè)和等于幾，甚至根本不能理解你在問(wèn)他（她）什么！還有的法國(guó)小學(xué)生會(huì)這樣定義數(shù)學(xué)（至少我認(rèn)為很有可能）：“存在一個(gè)正方形，但還沒(méi)有被證明”。據(jù)我在法國(guó)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，大學(xué)里的學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)與這些小學(xué)生也差不多（甚至包括那些在高等師范學(xué)校（ENS）里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生－－我為這些顯然很聰明但卻被毒害頗深的孩子們感到極度的惋惜）。例如，這些學(xué)生從未見(jiàn)過(guò)一個(gè)拋物面，而且一個(gè)這樣的問(wèn)題：描述由方程xy=z^2所給出的曲面

6、的形狀，就能使那些在ENS中研究的數(shù)學(xué)家們發(fā)呆半天；而如下問(wèn)題：畫(huà)出平面上由參數(shù)方程（例如x=t^33ty=t^42t^2）給出的曲線，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)是不可能完成的（甚至對(duì)大多數(shù)法國(guó)的數(shù)學(xué)教授也一樣）。從微積分的入門(mén)教科書(shū)直到Goursat寫(xiě)的課本，解這些問(wèn)題的能力都被認(rèn)為是每個(gè)數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的基本技能。那些喜歡挑戰(zhàn)大腦的所謂“抽象數(shù)學(xué)”的狂熱者們，把所有在數(shù)學(xué)中能與物理和現(xiàn)實(shí)經(jīng)常發(fā)生聯(lián)系的幾何統(tǒng)統(tǒng)排除在教學(xué)之外。由GoursatHermit

7、ePicard等人寫(xiě)的微積分教程被認(rèn)為是有害的，最近差點(diǎn)被巴黎第6和第7大學(xué)的圖書(shū)館當(dāng)垃圾丟掉，只是在我的干預(yù)下才得以保存。然而，數(shù)學(xué)教育的非幾何化以及與物理學(xué)的分離卻割斷了這種聯(lián)系。例如，不僅僅學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生而且絕大部分的代數(shù)幾何學(xué)家都對(duì)以下提及的Jacobi事實(shí)一無(wú)所知：一個(gè)第一類(lèi)型的橢圓積分表示了相應(yīng)的哈密頓系統(tǒng)中沿某個(gè)橢圓相曲線的運(yùn)動(dòng)所走的時(shí)間。我們知道一個(gè)hypocycloid就如同多項(xiàng)式環(huán)中的理想一樣是無(wú)窮無(wú)盡的。但是如果要

8、把理想這個(gè)概念教給一個(gè)從未見(jiàn)過(guò)任何hypocycloid的學(xué)生，就好比把分?jǐn)?shù)的加法教給一個(gè)從來(lái)沒(méi)有把蛋糕或蘋(píng)果等分切割過(guò)（至少在腦子里切過(guò)）的學(xué)生。毫無(wú)疑問(wèn)孩子們將會(huì)傾向于同時(shí)分子加分子分母加分母。從我的法國(guó)朋友那里我聽(tīng)說(shuō)這種超級(jí)抽象的一般化正是他們國(guó)家的傳統(tǒng)特色。如果說(shuō)這可能是一個(gè)世襲的缺陷，我倒不會(huì)不贊成，不過(guò)我還是愿意強(qiáng)調(diào)那個(gè)從Poincar那兒借來(lái)的“蛋糕與蘋(píng)果”的事實(shí)。構(gòu)造數(shù)學(xué)理論的方式與其它的自然科學(xué)并沒(méi)有什么不同。首先，我

9、們要考慮一些對(duì)象并對(duì)一些特殊的事例進(jìn)行觀察。接著我們?cè)噲D要找到一些我們所觀察到的結(jié)果在應(yīng)用上的限制，即尋找那些防止我們不正確地把我們所觀察的結(jié)果擴(kuò)展到更廣泛領(lǐng)域的反例。作為一個(gè)結(jié)果我們盡可能地明確提出那由經(jīng)驗(yàn)得來(lái)的發(fā)現(xiàn)（如費(fèi)馬猜想和龐加萊猜想）。這之后將是檢驗(yàn)我們的結(jié)論到底有多可靠的困難的階段。就這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)界已經(jīng)發(fā)展出了一套特別的技術(shù)。這種技術(shù)，當(dāng)被運(yùn)用于現(xiàn)實(shí)世界時(shí)，有時(shí)候很有用，但有時(shí)候也會(huì)導(dǎo)致自欺欺人。這樣的技術(shù)被稱(chēng)為“建模”

10、。當(dāng)構(gòu)造一個(gè)模型時(shí)，要進(jìn)行如下的理想化：某些只能以一定概率或一定的精確性了解的事實(shí)，往往被認(rèn)為是“絕對(duì)”正確的并被當(dāng)作“公理”來(lái)接受。這種“絕對(duì)性”的意義恰恰是，在把所有我們可以借助這些事實(shí)得出的結(jié)論稱(chēng)為定理的過(guò)程中，我們?cè)试S自己依據(jù)形式邏輯的規(guī)則來(lái)運(yùn)用這些“事實(shí)”。顯然在任何現(xiàn)實(shí)的日常生活中，我們的活動(dòng)要完全依賴(lài)于這樣的化減是不可能的。原因至少在于所研究的現(xiàn)象的參數(shù)決不可能被絕對(duì)準(zhǔn)確的知曉，并且參數(shù)的微小變化（例如一個(gè)過(guò)程初始條件的微

11、小改變）就會(huì)完全地改變結(jié)果。由于這個(gè)原因我們可以說(shuō)任何長(zhǎng)期的天氣預(yù)報(bào)都是不可能的，無(wú)論我們把計(jì)算機(jī)造的有多高級(jí)或是記錄初始條件地儀器有多靈敏，這永遠(yuǎn)也辦不到。與此完全一樣的是，公理（那些我們不能完全確定的）的一個(gè)小小的改變雖是容許的，一般來(lái)說(shuō)，由那些被接受的公理推出的定理卻將導(dǎo)出完全不同的結(jié)論。推導(dǎo)的鏈（即所謂的“證明”）越長(zhǎng)越復(fù)雜，最后得到的結(jié)論可靠性越低。復(fù)雜的模型幾乎毫無(wú)用處（除了對(duì)那些無(wú)聊的專(zhuān)寫(xiě)論文的人）。數(shù)學(xué)建模的技術(shù)對(duì)這種麻

12、煩一無(wú)所知，并且還不斷地吹噓他們得到的模型，似乎它們真的就與現(xiàn)實(shí)世界吻合。事實(shí)上，從自然科學(xué)的觀點(diǎn)看這種途徑是顯然不正確的，但卻經(jīng)常導(dǎo)致很多物理上有用的被稱(chēng)為“有不可思議的有效性的數(shù)學(xué)”結(jié)果（或叫做“Wigner原理”）。我在此再提一下蓋爾方德先生的一句話：還有另一類(lèi)現(xiàn)象與以上Wigner所指的物理中的數(shù)學(xué)具有相仿的不可思議的有效性，即生物學(xué)中用到的數(shù)學(xué)也是同樣令人難以置信的有效。對(duì)一個(gè)物理學(xué)家而言，“數(shù)學(xué)教育所致的不易察覺(jué)的毒害作用”

13、（F.Klein原話）恰恰體現(xiàn)在由現(xiàn)實(shí)世界抽離出的被絕對(duì)化了的模型，并且它與現(xiàn)實(shí)已不再相符。這兒是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：數(shù)學(xué)知識(shí)告訴我們Malthus方程dxdt=x的解是由初始條件唯一決定的（也即相應(yīng)的位于（tx）－平面上積分曲線彼此不交）。這個(gè)數(shù)學(xué)模型的結(jié)論顯得與現(xiàn)實(shí)世界毫不相關(guān)。而計(jì)算機(jī)模擬卻顯示所有這些積分曲線在t的負(fù)半軸上有公共點(diǎn)。事實(shí)上，具有初始條件x(0)=0和x(0)=1的曲線在t=100相交，其實(shí)在t=100時(shí)，你壓根就不可