1、,,,在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的. 而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.,,因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .,這一講，我們先介紹隨機變量的數(shù)學期望.,在這些數(shù)字特征中，最常用的是,期望和方差,一、離散型隨機變量的數(shù)學期望,1、概

2、念的引入：,某車間對工人的生產情況進行考察. 車工小張每天生產的廢品數(shù)X是一個隨機變量. 如何定義X的平均值呢？,某電話交換臺每天8:00-9:00收到的呼叫數(shù)X是一個隨機變量. 如何定義X的平均值即該交換臺每天8:00-9:00收到的平均呼叫數(shù)呢？,我們來看第一個問題.,若統(tǒng)計100天,,例1 某車間對工人的生產情況進行考察. 車工小張每天生產的廢品數(shù)X是一個隨機變量. 如何定義X的平均值呢？,32天沒有出廢品;30天每天出

3、一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;,可以得到這100天中 每天的平均廢品數(shù)為,這個數(shù)能否作為X的平均值呢？,可以想象，若另外統(tǒng)計100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.,n0天沒有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.,可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為,(假定小張每天

4、至多出三件廢品),一般來說,若統(tǒng)計n天,,這是以頻率為權的加權平均,由頻率和概率的關系,,不難想到，在求廢品數(shù)X的平均值時，用概率代替頻率，得平均值為,這是以概率為權的加權平均,這樣得到一個確定的數(shù). 我們就用這個數(shù)作為隨機變量X的平均值 .,這樣做是否合理呢？,我們采用計算機模擬.,不妨把小張生產中出廢品的情形用一個球箱模型來描述:,有一個箱子，里面裝有10個大小，形狀完全相同的球，號碼如圖.,規(guī)定從箱中任意取出一個球，記下

5、球上的號碼，然后把球放回箱中為一次試驗.,記X為所取出的球的號碼(對應廢品數(shù)) . X為隨機變量，X的概率函數(shù)為,下面我們用計算機進行模擬試驗.,輸入試驗次數(shù)(即天數(shù))n,計算機對小張的生產情況進行模擬,統(tǒng)計他不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)n0,n1,n2,n3 , 并計算,與,進行比較.,下面我們一起來看計算機模擬的結果.,請看演示,隨機變量均值的確定,則對X作一系列觀察(試驗)，所得X的試驗值的平均值也是隨機的.,由此引入離

6、散型r.vX的數(shù)學期望的定義如下:,對于一個隨機變量，若它可能取的值是X1,X2, …, 相應的概率為 p1,p2, …,,但是，如果試驗次數(shù)很大，出現(xiàn)Xk的頻率會接近于pk，于是可期望試驗值的平均值接近,定義1 設X是離散型隨機變量，它的概率函數(shù)是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,…,也就是說,離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和.,數(shù)學期望的統(tǒng)計意義,請看演示,要了解數(shù)學期望的統(tǒng)計意義，,例

7、1 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學期望.,解: 設試開次數(shù)為X,,P(X=k)= 1/n , k=1,2,…,n,E(X),于是,二、連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望,設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為f (x),在數(shù)軸上取很密的分點x0 <x1<x2< …,則X落在小區(qū)間[xi, xi+1)的概率是,

8、小區(qū)間[xi, xi+1),陰影面積近似為,小區(qū)間[Xi, Xi+1),由于xi與xi+1很接近, 所以區(qū)間[xi, xi+1)中的值可以用xi來近似代替.,這正是,的漸近和式.,陰影面積近似為,該離散型r.v 的數(shù)學期望是,由此啟發(fā)我們引進如下定義.,定義2 設X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù) 為 f (x),如果,有限,定義X的數(shù)學期望為,也就是說,連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的積分.,,若

9、X~U(a,b),即X服從( a,b)上的均勻分布,則,若X服從,若X服從參數(shù)為,由隨機變量數(shù)學期望的定義，不難計算得：,這意味著，若從該地區(qū)抽查很多個成年男子，分別測量他們的身高，那么，這些身高的平均值近似是1.68.,已知某地區(qū)成年男子身高X~,三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,1. 問題的提出：,設已知隨機變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望. 那么應該如何計算呢？,如何計算隨機變量函數(shù)

10、的數(shù)學期望?,一種方法是，因為g(X)也是隨機變量，故應有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計算出來.,使用這種方法必須先求出隨機變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復雜的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？,下面的基本公式指出，答案是肯定的.,類似引入上述E(X)的推理，可得如下的基本公式:,設X是一個隨機變量，Y=g

11、(X)，則,,當X為離散型時,P(X= xk)=pk ; 當X為連續(xù)型時,X的密度函數(shù)為f(x).,推廣到兩個以上r.v的基本公式，見教材.,,該公式的重要性在于: 當我們求E[g(X)]時, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.,將g(X)特殊化，可得到各種數(shù)字特征:,其中 k 是正整數(shù).,稍事休息,四、數(shù)學期望的性質,1. 設C是常數(shù)，則E(C)=C;,4. 設X、

12、Y獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);,2. 若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);,3. E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,（諸Xi獨立時）,注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立,五、數(shù)學期望性質的應用,例1 求二項分布的數(shù)學期望,若 X~B(n,p)，,則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù).,現(xiàn)在我們來求X的數(shù)學期望 .,,可見，服從參數(shù)為n和p的二項分布的隨機變量X的數(shù)學期望是np

13、.,X~B(n,p),,若設,則 X= X1+X2+…+Xn,= np,i=1,2，…，n,因為 P(Xi =1)= p,,P(Xi =0)= 1-p,所以 E(X)=,則X表示n重貝努里試驗中的“成功” 次數(shù).,例2 把數(shù)字1,2,…,n任意地排成一列，如果數(shù)字k恰好出現(xiàn)在第k個位置上，則稱為一個巧合，求巧合個數(shù)的數(shù)學期望.,由于 E(Xk)=P(Xk =1),解: 設巧合個數(shù)為X,,k=1,2, …,n,則,故

14、,引入,下面我們給出數(shù)學期望應用的一個例子.,合理驗血問題,請看演示,例3 設甲、乙兩人玩必分勝負的賭博游戲，假定游戲的規(guī)則不公正，以致兩人獲勝的概率不等，甲為p,乙為q，p>q,p+q=1.為了補償乙的不利地位，另行規(guī)定兩人下的賭注不相等，甲為 a, 乙為b, a>b. 現(xiàn)在的問題是：a究竟應比b大多少，才能做到公正？,解：設甲贏的錢數(shù)為X，乙贏的錢數(shù)為Y，,依題意,解：設甲贏的錢數(shù)為X，乙贏的錢數(shù)為Y，,為對雙方公正,