1、二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)典型題目一基礎(chǔ)知識一基礎(chǔ)知識1.1.定義：一般地，如果定義：一般地，如果是常數(shù)，是常數(shù)，，那么，那么叫做叫做的二次函數(shù)的二次函數(shù).cbacbxaxy(2???)0?ayx2.2.二次函數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)2axy?（1）拋物線）拋物線的頂點是坐標原點，對稱軸是的頂點是坐標原點，對稱軸是軸.2axy?y（2）函數(shù)）函數(shù)的圖像與的圖像與的符號關(guān)系的符號關(guān)系.2axy?a①當時拋物線開

2、口向上拋物線開口向上頂點為其最低點；頂點為其最低點；0?a??②當時拋物線開口向下拋物線開口向下頂點為其最高點頂點為其最高點.0?a??（3）頂點是坐標原點，對稱軸是）頂點是坐標原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為軸的拋物線的解析式形式為.y2axy?）（0?a3.3.二次函數(shù)二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于（包括重合）的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線軸的拋物線.cbxaxy???2y4.4.二次函數(shù)二次函數(shù)用配方法可化成：用配

3、方法可化成：的形式，的形式，cbxaxy???2??khxay???2其中其中.abackabh4422????，5.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③2axy?kaxy??2；④；④；⑤；⑤.??2hxay????khxay???2cbxaxy???26.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當?shù)姆?/p>

4、號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向上；當時，開口向下；時，開口向下；a0?a0?a相等，拋物線的開口大小、形狀相同相等，拋物線的開口大小、形狀相同.a②平行于平行于軸（或重合）的直線記作軸（或重合）的直線記作.特別地，特別地，軸記作直線軸記作直線.yhx?y0?x7.7.頂點決定拋物線的位置頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方相同，那么拋物線

5、的開口方a向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：）公式法：，頂點是，頂點是，abacabxacbxaxy442222?????????????），（abacab4422??對稱軸是直線對稱軸是直線.abx2??（2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到

6、頂點為的形式，得到頂點為??khxay???2()，對稱軸是直線，對稱軸是直線.hkhx?（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.9.9.拋物線拋物線中，中，的作用的作用cbxaxy???2cba（1）決定開口

7、方向及開口大小，這與決定開口方向及開口大小，這與中的中的完全一樣完全一樣.a2axy?a（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線由于拋物線的對稱軸是直線的對稱軸是直線bacbxaxy???2，故：，故：①時，對稱軸為時，對稱軸為軸；軸；②（即（即、同號）時，對稱軸在同號）時，對稱軸在軸左軸左abx2??0?by0?ababy側(cè)；側(cè)；③（即（即、異號）時，對稱軸在異號）時，對稱軸在軸右側(cè)軸右側(cè).0?abab

8、y（3）的大小決定拋物線的大小決定拋物線與軸交點的位置軸交點的位置.ccbxaxy???2y當時，時，，∴拋物線拋物線與軸有且只有一個交點（軸有且只有一個交點（0，）：）：0?xcy?cbxaxy???2yc①，拋物線經(jīng)過原點，拋物線經(jīng)過原點②與軸交于正半軸；軸交于正半軸；③與軸交于負半軸軸交于負半軸.0?c0?cy0?cy以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在如拋物線的對稱軸在

9、軸右側(cè)，則軸右側(cè)，則.y0?ab10.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式函數(shù)解析式開口方向開口方向?qū)ΨQ軸對稱軸頂點坐標頂點坐標2axy?（軸）軸）0?xy（0000）kaxy??2（軸）軸）0?xy(0(0)k??2hxay??hx?(0)0)h??khxay???2hx?()hkcbxaxy???2當時0?a開口向上開口向上當時0?a開口向下開口向下abx2??()abacab4422

10、??，1111abcabcb24acabcabcabcabc等符號的符號的確定確定1212二次函數(shù)值恒正或恒負的條件：二次函數(shù)值恒正或恒負的條件：恒正的條件：恒正的條件：a＜0且；恒負的條件：；恒負的條件：a＞0且。0??0??13拋物線的平移規(guī)律：①在頂點式的基礎(chǔ)上拋物線的平移規(guī)律：①在頂點式的基礎(chǔ)上“左加右減，上加下減”“左加右減，上加下減”。②在一般式的基礎(chǔ)上②在一般式的基礎(chǔ)上1414兩拋物線關(guān)于坐標軸對稱的條件：兩拋物線關(guān)于坐標

11、軸對稱的條件：拋物線拋物線關(guān)于關(guān)于x軸對稱的解析式：軸對稱的解析式：??khxay???2拋物線拋物線關(guān)于關(guān)于x軸對稱的解析式：軸對稱的解析式：??khxay???215.15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：）一般式：.已知圖像上三點或三對已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式的值，通常選擇一般式.cbxaxy???2xy（2）頂點式：）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式已知

12、圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.??khxay???2（3）交點式：已知圖像與）交點式：已知圖像與軸的交點坐標軸的交點坐標、，通常選用交點式：，通常選用交點式：.x1x2x????21xxxxay???1616二次函數(shù)的二次函數(shù)的最值問題最值問題(1)公式法公式法:y=ax2bxc中當a0時x=___________y最小最小=___________當a0a0當x=___________yx=___________y最小最小=___

13、________=___________若a0(3)abc0(4)b=2a.其中正確的結(jié)論有其中正確的結(jié)論有()A.4A.4個B.3B.3個C.2C.2個D.1D.1個15二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象在的圖象在x軸的上方的條件是（軸的上方的條件是（）Aa＞0，b2－4ac＞0Ba＞0，b2－4ac＜0Ca＜0，b2－4ac＞0Da＜0，b2－4ac＜016如圖，如果函數(shù)y=kx＋b的圖象在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=k

14、x2＋bx－1的大致圖象是（）17已知拋物線已知拋物線y=ax2＋bx＋c，如圖所示，則，如圖所示，則x的方程的方程ax2＋bx＋c－3=0的根的情況是（的根的情況是（）A有兩個不相等的正實根有兩個不相等的正實根B有兩個異號實數(shù)根有兩個異號實數(shù)根C有兩個相等實數(shù)根有兩個相等實數(shù)根D沒有實數(shù)根沒有實數(shù)根18下列四個函數(shù)：①下列四個函數(shù)：①y=x＋1；②；②y=；③；③y=－x2；④；④y=2x（－（－1≤x≤2）其中圖象是中心對其中圖象是

15、中心對x3稱圖形，且對稱中心是原點的共有（稱圖形，且對稱中心是原點的共有（）A1個B2個C3個D4個19已知函數(shù)已知函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)a、b、c有下列不等式：①有下列不等式：①a＜0；②；②b＜0；③；③c＞0；④；④2a＋b＜0；⑤；⑤a＋b＋c＞0其中正確個數(shù)為（其中正確個數(shù)為（）A1個B2個C3個D4個20已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，那么下列判斷

16、正確的是（的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）（多選）（多選）Aabc＞0Bb2－4ac＞0C2a＋b＞0D4a－2b＋c＜021如圖，二次函數(shù)如圖，二次函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象交的圖象交x軸于軸于A、B兩點，交兩點，交y軸于點軸于點C，則△，則△ABC的面的面積為（積為（）A6B4C3D122函數(shù)函數(shù)y=ax2與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐標系中的圖象大致是（＝在同一直角坐標系中的圖象大致是（）23一臺機器原價為一臺機器

17、原價為60萬元，如果每年的折舊率為萬元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺機器的價位為，兩年后這臺機器的價位為y萬元，則萬元，則y與x之間的函數(shù)表達式為（之間的函數(shù)表達式為（）Ay=60（1－x）2By=60（1－x）Cy=60－x2Dy=60（1＋x）224拋物線拋物線y=x2＋ax＋b向左平移向左平移2個單位再向上平移個單位再向上平移3個單位得到拋物線個單位得到拋物線y=x2－2x＋1，則，則（）Aa=2，b=－2Ba=－6，b=6C

18、a=－8，b=14Da=－8，b=18二、填空題二、填空題1拋物線拋物線y=3(x4)(x2)與x軸的兩交點坐標為軸的兩交點坐標為_________與y軸的交點坐標為軸的交點坐標為___________.2已知拋物線已知拋物線y=x2＋（＋（m－1）x－的頂點的橫坐標是的頂點的橫坐標是2，則，則m的值是的值是413二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2－2x＋3的最小值是的最小值是4拋物線拋物線y=x2－2x＋a2的頂點在直線的頂點在直線x=2上，則

19、上，則a的值是的值是a5二次函數(shù)二次函數(shù)y=y=－x2＋6x6x－5，當，當時，時，，且，且隨的增大而減小。的增大而減小。x0?yyx6已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=x2＋（＋（a－b）x＋a的圖象如圖所示，那么化簡的圖象如圖所示，那么化簡的bababa???222結(jié)果是結(jié)果是7若一拋物線若一拋物線y=ax2與四條直線與四條直線x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點，則圍成的正方形有公共點，則a的取值范的取值范圍是圍是8把拋物