1、相平面法例題解析一、線性系統(tǒng)的相平面法例題（一般用于選擇填空）： 一、線性系統(tǒng)的相平面法例題（一般用于選擇填空）：xx ?02 x sx ? ?1 x sx ? ?x0 x ?x0 x ?x2 x s x ? ?1 x s x ? ?j0j0j0j0j0j0j0j0j0※穩(wěn)定節(jié)點※穩(wěn)定焦點 不穩(wěn)定焦點s1j0 s2 s1j0 s2j0j0j0 s2j0 s2 s1j0 s2 s1j0 s2 s1j0 s1 s2j0 s1 s2j0 s1

2、 s2二階線性系統(tǒng) 相軌跡奇點類型、穩(wěn)定性與根的分布關(guān)系中心點0 x ?x0 x ?x2 x s x ? ?1 x s x ? ?不穩(wěn)定節(jié)點鞍點2 2 0 n n x x x ?? ? ? ? ? ?? ?2 2 0 n n x x x ?? ? ? ? ? ?? ?0 1 ? ? ?1 ? ?0 ? ?1 0 ? ? ? ?1 ? ? ?例已知線性系統(tǒng)的運動方程 ，分別給出系統(tǒng)在相平面中具有(a)穩(wěn)定焦點和 0 ? ? ? e b e

3、 a e ? ? ?(b)鞍點時，參數(shù) a 和 b 的取值范圍。解：由方程求出兩根為 。21,242a a b s ? ? ? ?(a)穩(wěn)定焦點 ，系統(tǒng)具有一對負實部共軛復(fù)根， 、 且 ； 1 0 ? ?? 0 ? a b a 4 2 ? 0 ? b(b)鞍點，系統(tǒng)具有符號相反的兩個實極點 。 0 ? b例已知某二階線性系統(tǒng)的運動方程為 ，則系統(tǒng)的奇點類型和當(dāng)輸 2 4 0 e e e ? ? ? ?? ?入 時的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分別為__

4、 B ____。 ( ) 5 1( ) r t t ? ?A．穩(wěn)定的節(jié)點， ； B．穩(wěn)定的焦點，0； ?C．穩(wěn)定的焦點， ； D．穩(wěn)定的節(jié)點，0 。 ?例 8.6：設(shè)線性系統(tǒng) ：設(shè)線性系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài) 開始處于靜止?fàn)顟B(tài)（即輸出初始值為 （即輸出初始值為 0） ，試?yán)孟嗥矫娣?，試?yán)孟嗥矫娣▽ο到y(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差 系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)態(tài)誤差進行分析。其中， 進行分析。其中， 1） ： ( ) 1( ), r t R t R ?

5、? 為常數(shù)2） ： ( ) , r t R t R ? ? 為常數(shù)解：因分析系統(tǒng)穩(wěn)定性 穩(wěn)定性故從 故從閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)出發(fā)，由閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)，則 。于是描述該系統(tǒng)的運動方程為： 2( )( )C s KR s Ts s K ? ? ?2 ( )[ ] ( ) C s Ts s K KR s ? ? ?Tc c Kc Kr ? ? ? ?? ?繪制 相平面相軌跡。 【注】： 注】：把相變量變成誤差，分析最終奇點位置表示穩(wěn)態(tài)誤差情 e

6、e ? ?況。當(dāng)然 也行。但是若沒要求，一般建議 相平面。 c c ? ? e e ? ?因為 ，即 ，所以， ————————（1） e r c ? ? c r e ? ? Te e Ke Tr r ? ? ? ? ?? ? ?? ?r (t) c(t) e(t)-( 1)Ks Ts ?a） ， ；b） 。 。注：負的根。 注：負的根。 0 1 ? ? ? 1,21 4 12j kT s T? ? ? ? 1 ? ? 1,21 1 4

7、2kT s T? ? ? ?初始值： ，即 。如圖。 (0) (0) (0) (0)(0) (0) (0) (0)R R R x e r c K K Kx e r c R? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?( , ) R R K ?0 x0 x ?x0 1 ? ? ? 1 ? ?e ?ex ? e ?e(0, ) R (0, ) R同理可見系統(tǒng)穩(wěn)定。但是，要分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，需要 繪制 平面的 R e x K ?

8、? e e ? ?相軌跡（只要坐標(biāo)平移把 的奇點移到 即可） 。 即在 平面系統(tǒng)的奇點為 x x ? ? ( ,0) RK e e ? ?。由圖可見，系統(tǒng)在斜坡輸入信號作用下，穩(wěn)態(tài)誤差為 。 ( ,0) RKRK總結(jié)：? 相平面法分析時關(guān)鍵先 相平面法分析時關(guān)鍵先求二階線性系統(tǒng)運動方程及初始值 求二階線性系統(tǒng)運動方程及初始值；? 線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)相軌跡和奇點類別 相軌跡和奇點類別取決于系統(tǒng)特征根在復(fù)平面上的分布情況； 取決于系統(tǒng)特征

9、根在復(fù)平面上的分布情況；? 線性系統(tǒng) 線性系統(tǒng)奇點的位置 奇點的位置和相軌跡初始值位置則取決于輸入信號的形式。 相軌跡初始值位置則取決于輸入信號的形式。 二、非線性系統(tǒng)的相平面法例題（一般填空或計算）： 二、非線性系統(tǒng)的相平面法例題（一般填空或計算）： 要求： 要求：1.正確求出非線性系統(tǒng)在每個線性區(qū)的相軌跡方程，也就是 正確求出非線性系統(tǒng)在每個線性區(qū)的相軌跡方程，也就是 （或 （或 ）之 ）之 e e ? ? c c ? ?間的關(guān)系方

10、程；會畫相軌跡（模型中是給具體數(shù)的） 間的關(guān)系方程；會畫相軌跡（模型中是給具體數(shù)的） ?！P(guān)鍵要確定開關(guān)線方 。※※關(guān)鍵要確定開關(guān)線方程。 程。2. 2. ※※※如果發(fā)生自持振蕩，會計算振幅和周期。 ※※※如果發(fā)生自持振蕩，會計算振幅和周期?！咀ⅰ?注】：非線性系統(tǒng)的 非線性系統(tǒng)的相平面法一般應(yīng)： 1）按照信號流向與傳輸關(guān)系。線性部分產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)關(guān)系，非線性部分形成不同分區(qū)。連在一 按照信號流向與傳輸關(guān)系。線性部分產(chǎn)生導(dǎo)數(shù)關(guān)系，非線性部分

11、形成不同分區(qū)。連在一起就形成了不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，即含有 起就形成了不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，即含有 或者 的運動方程。 c ?? e ??2）※※※根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程的條件方程確定 ）※※※根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程的條件方程確定開關(guān)線方程。開關(guān)線方程確定很關(guān)鍵。3）※※※ ※※※根據(jù)不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，利用解析法（分離變量積分法或者消去 不同線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程，利用解析法（分離變量積分法或者消去

12、 t法）不同線性分區(qū)對應(yīng)的相軌跡方程，即 法）不同線性分區(qū)對應(yīng)的相軌跡方程，即 和 之間關(guān)系； c c ? ? e e ? ?4）※根據(jù)不同分區(qū)的初始值繪制出相軌跡，并求出穩(wěn)態(tài)誤差和超調(diào)、以及自持振蕩的周期 自持振蕩的周期和振幅等。特別指出：如果非線性系統(tǒng)的某個線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程同典型的二階系統(tǒng)運動方程， 特別指出：如果非線性系統(tǒng)的某個線性分區(qū)對應(yīng)的運動方程同典型的二階系統(tǒng)運動方程，也可以不用解析法，而根據(jù)此時特征方程根的分布情況，