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1、1復變函數與積分變換復習提綱 復變函數與積分變換復習提綱第一章 第一章 復變函數 復變函數一、復變數和復變函數? ? ? ? ? ? y x iv y x u z f w , , ? ? ?二、復變函數的極限與連續(xù)極限 連續(xù) A z fz z ?? ) ( lim0 ) ( ) ( lim 00 z f z fz z ??第二章 第二章 解析函數 解析函數一、復變函數 可導與解析的概念。 ) , ( ) , ( ) ( y x iv
2、y x u z f w ? ? ?二、柯西——黎曼方程掌握利用 C-R 方程 判別復變函數的可導性與解析性。? ?? ? ?? ??x yy xv uv u掌握復變函數的導數:y x y xy y x xv iv iu uv iu yfi iv u xf z f? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?? ?1 ) ( '三、初等函數重點掌握初等函數的計算和復數方程的求解。1、冪函數與根式函數單值函數 ? ? ?
3、? ? in n n n n n e r n i n r i r z w ? ? ? ? ? ? ) sin (cos ) sin (cos(k=0、1、2、…、n-1) n 多值函數 nk z i n n e r z w? 2 arg 1 ?? ?2、指數函數: ) sin (cos y i y e e w x z ? ? ?性質:(1)單值.(2)復平面上處處解析, (3)以 為周期 z z e e ? )
4、' ( i ? 23、對數函數(k=0、±1、±2……) ? ? k i z k z i z Lnz w 2 ln ) 2 (arg ln ? ? ? ? ? ?性質:(1)多值函數,(2)除原點及負實軸處外解析,(3)在單值解析分枝上: 。kk z z 1 )' (ln ?4、三角函數:2 cosiz iz e e z? ? ? ie e ziz iz2 sin? ? ?性質:(1)單值 (2)復平
5、面上處處解析 (3)周期性 (4)無界5、反三角函數(了解)反正弦函數 ) 1 ( 1 sin 2 z iz Ln i z Arc w ? ? ? ?3五、高階導數公式: ? ? ? ??? d zfin z fc nn ? ? ? ? 1) () ( 2! ) (解析函數的兩個重要性質:? 解析函數 在任一點 的值可以通過函數沿包圍點 的任一簡單閉合回路的積分表示。 ? ? z f z z? 解析函數有任意階導數。本章重點: 本章重
6、點:掌握復變函數積分的計算方法沿路徑積分1)利用參數法積分 2)利用原函數計算積分。 ? ? ? c dz z f閉路積分 利用留數定理計算積分。 ? ? ? c dz z f第四章 第四章 解析函數的級數 解析函數的級數一、冪級數及收斂半徑: ????0) (nnn b z a1、一個收斂半徑為 R(≠0)的冪級數,在收斂圓內的和函數 是解析函數,在這個收斂圓內, ) (z f這個展開式可以逐項積分和逐項求導,即有:? ? ?
7、 ? ???? ?1'nnn b z na z f R b z ? ?? ? ? ? 10 0 0 1????? ?? ? ? ? ? ? ? nnzl nn nnz z na dz b z a dz z f R b z ? ?2、收斂半徑的計算方法1) 比值法: 1 / lim ? ? ? ? n n n a a R2) 根值法: nn n a R? ? ? lim / 1二、泰勒(Taylor)級數1、如函數 在圓域 內解析
8、,那么在此圓域內 可以展開成 Taylor 級數 ) (z f R b z ? ? ) (z f) (z f ? ?? ? nnnnnn b z nb f b z a ? ? ? ? ? ????? 0 0 ! ) (1)展開式是唯一的。故將函數在解析點的鄰域中展開冪級數一定是 Taylor 級數。2 ) 收斂半徑是展開點到 的所有奇點的最短距離。 ) (z f3)展開式的系數可以微分計算: ? ?! nb f ann ?4)解析函
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