1、2021 2021 高中文科數學學問點〔函數〕 高中文科數學學問點〔函數〕一、函數的概念： 一、函數的概念：1. 函數的概念：設 A、B 是非空的數集，假如根據某個確定的對應關系 f，使對于集合 A 中的隨意一個 數 x，在集合 B 中都有唯一確定的數 f(x)和它對應，那么就稱 f：A→B 為從集合 A 到集合 B 的一個函數．記作： y=f(x)，x∈A．其中，x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數的定義域；及 x 的值相對應

2、的 y 值叫 做函數值，函數值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數的值域．函數的三要素：定義域、對應關系、值域.2.函數的三種表示方法：解析法、圖象法、列表法. 二、 二、定義域的求法： 定義域的求法：能使函數式有意義的實數 x 的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時，列不等式 組的主要根據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必需大于零；(4)指數、對數式的底必需大于零且不等于 1；(

3、5) 指數為零，底不行以等于零； (6) 假如函數是由一些根本函數通過四那么運算結合而成的.那么，它的定義域是使各 它的定義域是使各部分都有意義的 部分都有意義的 x 的值組成的集合 的值組成的集合；(7)實際問題中的函數的定義域還要保證明際問題有意義.三、值域的求法 三、值域的求法: 其類型依解析式的特點分可分三類： (1)求常見函數值域； (2)求由常見函數復合而成的函數的值域； (3)求由常見函數作某些“運算〞而得函數的值域 2.

4、函數值域的常用方法： (1)視察法：通過對函數定義域、性質的視察，結合函數的解析式，求得函數的值域。(2)配方法：(二次或四次) 轉化為二次函數 二次函數，利用二次函數的特征來求值；常轉化為含有自變量的平方式及常數的和，型如： 的 ) , ( , ) ( 2 n m x c bx ax x f ? ? ? ?形式，然后根據變量的取值范圍確定函數的最值。 (3)換元法：代數換元法通過變量代換到達化繁為簡、化難為易的目的；三角代換法可將代數

5、函數 的最值問題轉化為三角函數的最值問題，化歸思想。 (4)別離常數法：對某些分式函數，可通過別離常數法，化成局部分式來求值域。(5)判別式法：假設函數 y=f〔x〕可以化成一個系數含有 y 的關于 x 的二次方程 a〔y〕x2+ b〔y〕x+c 〔y〕=0，那么在 a〔y〕≠0 時，由于 x、y 為實數，故必需有Δ=b2〔y〕－4a〔y〕·c 〔y〕≥0，從而確定函數的最值，檢驗這個最值在定義域內有相應的 x 值。 (6)最

6、值法：對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數 y=f(x),可求出 y=f(x)在區(qū)間[a,b]內的極值，并及邊 界值 f(a)，f(b)作比較,求出函數的最值，可得到函數 y 的值域。 四、解析式的求法： 四、解析式的求法：1. 待定系數法：函數圖象，確定函數解析式，或函數的類型且函數滿意的方程時，常用待定系數法。2. 函數性質法：假如題目中給出函數的某些性質〔如奇偶性、周期性〕 ，那么可利用這些性質求出解析 式。 七、函數的 七、函數的奇

7、偶 奇偶性： 性：1. 定義：一般地，對于函數 f(x)的定義域內的隨意一個 x，都有 f( f(－x)=f(x) x)=f(x)，那么 f(x)就叫 做偶函數．一般地，對于函數 f(x)的定義域內的隨意一個 x，都有 f( f(－x)= x)=—f(x) f(x)，那么 f(x)就 叫做奇函數． 2. 具有奇偶性的函數的圖象的特征:偶函數的圖象關于 y 軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．3. 推斷函數奇偶性的步驟： 推斷函數奇偶性的步

8、驟：首先確定函數的定義域，并推斷其是否關于原點對稱； ○ 1確定 f(－x)及 f(x)的關系； ○ 2作出相應結論：假設 f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，那么 f(x)是偶函數； ○ 3假設 f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，那么 f(x)是奇函數．八、函數的周期性： 八、函數的周期性：1．定義：一般地，對于函數 ，假如存在一個非零常數 T，使得當 x 取定義域內的每一個值 ( )

9、 f x時，都有 ，那么函數 就叫做周期函數，非零常數 T 叫做函數的周期。 ( T) ( ) f x f x ? ? ( ) f x2．函數周期性的性質： 〔1〕對于非零常數 A，假設函數 滿意 ，那么函數 必有 ( ) y f x ? ( A) ( ) f x f x ? ? ? ( ) y f x ?一個周期為 2A。 〔2〕對于非零常數 A，函數 滿意，那么函數 的一個周期為 2A。 ( ) y f x ? ( ) y f x

10、?〔3〕對于非零常數 A，函數 滿意，那么函數 的一個周期為 2A。 ( ) y f x ? ( ) y f x ?九、二次函數： 九、二次函數：1. 一般式： 0 , ) ( 2 ? ? ? ? a c bx ax x f2. 頂點式： 0 , ) ( ) ( 2 ? ? ? ? a n m x a x f3. 零點式： 0 ), )( ( ) ( 2 1 ? ? ? ? a x x x x a x f十、反比例函數： 十、反比例函數

11、：形如的函數十一、 十一、 “對號〞函數： “對號〞函數：形如的函數1. 一般地，對于函數．〔１〕當 時，函數在及上為增函數，在及上為減函數．函數的值域是 0 , 0 ? ? b a． ) , 2 [ ] 2 , ( ?? ? ?? ab ab ?〔２〕當 時，函數在 及 上都是增函數，值域為 ． 0 , 0 ? ? b a ) 0 , (?? ) , 0 ( ?? ) , ( ?? ??十二、指數函數： 十二、指數函數：1. 根式的概

12、念：①假如 ，且 ，那么 叫做 的 次方根．當 是奇數 , , , 1 n x a a R x R n ? ? ? ? n N? ? x a n n時， 的 次方根用符號 表示；當 是偶數時，正數 的正的 次方根用符號 表 a n n a n a n n a示，負的 次方根用符號 表示；0 的 次方根是 0；負數 沒有 次方根． n n a ? n a n②式子 叫做根式，這里 叫做根指數， 叫做被開方數．當 為奇數時， 為隨意實 n