1、美籍羅馬尼亞數(shù)學(xué)家Florentin Smarandache教授曾提出許多重要的理論和實(shí)際問題，其中大部分內(nèi)容與數(shù)論有關(guān).一些學(xué)者對(duì)他的理論和問題進(jìn)行了深入的研究，并獲得了不少具有重要理論價(jià)值的研究成果，這些工作發(fā)表在一些國際數(shù)學(xué)期刊如《Smarandache Notions Journal》以及《Scientia Magna》等刊物上.此外，日本數(shù)論專家Kenichiro Kashihara博士也在他所著的《Comments and

2、Topics On Smarandache Notions and Problems》一書中提出了許多與數(shù)論及Smarandache函數(shù)相關(guān)的問題，其中不少問題具有一定的理論意義及研究價(jià)值.基于對(duì)這些問題的興趣，本文研究了一些偽Smarandache函數(shù)及其對(duì)偶方程的可解性，定義了新的Smarandache冪和函數(shù)，進(jìn)而研究了這些函數(shù)的性質(zhì).主要工作包括以下三個(gè)方面：
　　 1.研究了一個(gè)包含偽Smarandache函數(shù)及其對(duì)偶

3、函數(shù)方程的可解性，利用初等及組合方法給出了該方程的一系列正整數(shù)解，并證明了該方程的所有奇數(shù)解必為奇素?cái)?shù)p(≥5)的方冪.
　　 2.對(duì)任意正整數(shù)n及給定的正整數(shù)k＞1，定義了兩個(gè)Smarandache冪和函數(shù)P(n，k)及AP(n，k)，并研究了它們的算數(shù)性質(zhì)，利用高斯取整函數(shù)的性質(zhì)及初等方法給出了函數(shù)P(n，k)及AP(n，k)的均值的兩個(gè)有趣的漸近公式.
　　 3.設(shè)n為正整數(shù)，定義可加函數(shù)F(n)為F(1)=0，當(dāng)