1、本篇博士論文主要研究平面多項(xiàng)式微分自治系統(tǒng)的等時(shí)性與極限環(huán)分支問(wèn)題,全文由七章組成.
　　 第一章全面綜述了平面多項(xiàng)式微分自治系統(tǒng)的極限環(huán)分支、中心與可積性、等時(shí)中心與可線性化等問(wèn)題的歷史背景和研究現(xiàn)狀,并簡(jiǎn)單介紹了一下本文的特色工作.
　　 第二章研究了一類含兩個(gè)小參數(shù)和九個(gè)普通參數(shù)的七次多項(xiàng)式系統(tǒng)的高次奇點(diǎn)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心條件與極限環(huán)分支問(wèn)題.該系統(tǒng)的原點(diǎn)是高次奇點(diǎn),赤道環(huán)上沒(méi)有實(shí)奇點(diǎn).首先在個(gè)人計(jì)算機(jī)上用計(jì)算機(jī)代數(shù)

2、系統(tǒng)Mathematica推導(dǎo)出該系統(tǒng)高次奇點(diǎn)的前9個(gè)奇點(diǎn)量和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的前7個(gè)奇點(diǎn)量,然后討論了系統(tǒng)高次奇點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的中心判據(jù).最后在高次奇點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的同步擾動(dòng)下,得到了這個(gè)系統(tǒng){(8),3}和{(3),6}的極限環(huán)分布.
　　 第三章研究了一類七次多項(xiàng)式系統(tǒng)高次奇點(diǎn)的中心、擬等時(shí)中心條件與極限環(huán)分支問(wèn)題.首先通過(guò)同胚變換和復(fù)變換將系統(tǒng)的高次奇點(diǎn)化為復(fù)域中的初等原點(diǎn),然后求出了新系統(tǒng)在原點(diǎn)的前45個(gè)奇點(diǎn)量,從而導(dǎo)出了高次奇點(diǎn)

3、為中心和最高階細(xì)焦點(diǎn)的條件.在此基礎(chǔ)上給出了七次系統(tǒng)在高次奇點(diǎn)分支出8個(gè)極限環(huán)的實(shí)例.最后通過(guò)一種新的算法求出高次奇點(diǎn)為中心時(shí)的周期常數(shù),得到了高次奇點(diǎn)為擬等時(shí)中心的必要條件,并利用一些有效途徑一一證明了這些條件的充分性.
　　 第四章研究了具有4:-m型與5:-m型有理共振奇點(diǎn)的Lotka-Volterra系統(tǒng)的可線性化問(wèn)題.計(jì)算廣義周期常數(shù)是尋找具有有理共振比率系統(tǒng)可線性化條件的一種行之有效的方法.我們通過(guò)一種新的遞推算法來(lái)

4、尋找可線性化的必要條件,應(yīng)用此法無(wú)須事先解決系統(tǒng)的可積性問(wèn)題.最后,我們通過(guò)各種方法證明了這些條件的充分性.
　　 在第五章中,我們研究多項(xiàng)式系統(tǒng)p:-q型共振奇點(diǎn)的可線性化問(wèn)題.首先,我們通過(guò)一個(gè)同胚變換將奇點(diǎn)轉(zhuǎn)化為原點(diǎn).進(jìn)一步地,我們推導(dǎo)出了計(jì)算所謂的廣義周期常數(shù)的遞推算法.此算法給出的是線性遞推公式,只需將系統(tǒng)右端系數(shù)作為符號(hào)進(jìn)行有限次的加、減、乘、除四則運(yùn)算,避免了通常計(jì)算所需要的復(fù)雜積分和三角函數(shù)運(yùn)算,從而比較容易在個(gè)

5、人計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn).最后,作為此算法的應(yīng)用,我們研究了一類七次多項(xiàng)式系統(tǒng)退化奇點(diǎn)的擬等時(shí)中心問(wèn)題和4:-5型Lotka-Volterra系統(tǒng)的可線性化問(wèn)題.
　　 在第六章中,我們研究了實(shí)甲面擬三次解析系統(tǒng)的等時(shí)中心問(wèn)題.所采用的技巧是通過(guò)同胚變換把擬三次解析系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為解析系統(tǒng)來(lái)處理.運(yùn)用計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica,我們計(jì)算了新系統(tǒng)原點(diǎn)的周期常數(shù)并且得到了其為等時(shí)中心的必要條件.最后,我們通過(guò)多種方法證明了這些條件的充分性