1、本文討論了幾類(lèi)多項(xiàng)式系統(tǒng)在多項(xiàng)式擾動(dòng)下的極限環(huán)分支問(wèn)題.對(duì)于一類(lèi)具有尖點(diǎn)環(huán)的哈密頓系統(tǒng)給出了其在尖點(diǎn)環(huán)附近的一階 Melnikov函數(shù)的展開(kāi)式.利用一階 Metnikov 函數(shù)的展開(kāi)式的系數(shù)研究了尖點(diǎn)環(huán)分支、同宿分支、雙同宿分支和Hopf分支,并給出了產(chǎn)生極限環(huán)的充分條件.借助于焦點(diǎn)量的計(jì)算討論了系統(tǒng)中心存在的條件并用其來(lái)判定焦點(diǎn)的最高階數(shù).該問(wèn)題的研究發(fā)展了利用奇閉軌線(例如同宿,異宿,雙同宿環(huán))穩(wěn)定性的改變產(chǎn)生極限環(huán)的辦法.全文主要

2、內(nèi)容分為七章. 第一章首次給出了一類(lèi)具有尖點(diǎn)環(huán)的Hamilton系統(tǒng)其一階Melnikov函數(shù)在尖點(diǎn)環(huán)附近的展開(kāi)式.同時(shí)首次給出了關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的哈密頓系統(tǒng)存在尖點(diǎn)環(huán)的充分必要條件.并且針對(duì)于給出的條件,作為定理的應(yīng)用討論了尖點(diǎn)環(huán)附近的極限環(huán)分支. 第二、三章首先給出了一階 Melnikov 函數(shù)的展開(kāi)式中的系數(shù)與 Lia-punov 常數(shù)之間的關(guān)系,然后利用Hopf與同宿或雙同宿分支中的Melnikov函數(shù)的展開(kāi)式的系數(shù)研究了近

3、哈密頓系統(tǒng)Hopf、同宿或雙同宿分支產(chǎn)生的極限環(huán)的個(gè)數(shù)與分布,得到了全局分支產(chǎn)生極限環(huán)的一個(gè)新的充分條件. 第四章研究了一類(lèi)Kukles系統(tǒng)的極限環(huán)的個(gè)數(shù)與分布,這里我們把所研究系統(tǒng)看作是三次擾動(dòng)下的退化的Kukles系統(tǒng).用分支理論和定性分析的方法,得到該系統(tǒng)可以有5個(gè)極限環(huán)且有三種不同的分布.不同于以前的工作,其中的兩種分布的5個(gè)極限環(huán)都不是小振幅的. 第五章給出了只關(guān)于一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)的三次哈密頓系統(tǒng)的分類(lèi),研究了三次哈

4、密頓系統(tǒng)在三次擾動(dòng)下的極限環(huán)的個(gè)數(shù)與分布.通過(guò)研究奇閉軌分支可以證明該系統(tǒng)有9-11個(gè)極限環(huán)并且給出了其不同的分布,其中關(guān)于11個(gè)極限環(huán)的兩種分布是新的. 第六章研究了一五次哈密頓系統(tǒng)擾動(dòng)下的極限環(huán)分支,利用定性分析和分支理論的方法,借助于數(shù)學(xué)軟件,得到了系統(tǒng)可以有20,22,24個(gè)極限環(huán)且給出了其不同的分布.而對(duì)于同一未擾動(dòng)系統(tǒng)的不同擾動(dòng)其他作者只得到了23個(gè)極限環(huán). Bautin定理證明了二次系統(tǒng)的焦點(diǎn)的階數(shù)至多是3