1、本文討論了自變量分段連續(xù)型微分方程（EPCA），比例方程，單種群模型和一類(lèi)非線性延遲微分方程的數(shù)值解的全局性質(zhì)。這些類(lèi)型的方程在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，并且數(shù)值解全局性質(zhì)的分析具有重要的理論價(jià)值和實(shí)踐意義。
　　本文詳細(xì)地?cái)⑹隽薊PCA、比例方程、單種群模型和非線性延遲微分方程的應(yīng)用背景和研究歷史，回顧了這些微分方程解析解和數(shù)值解的一些全局性質(zhì)的研究狀況。
　　給出了EPCA的Runge-Kutta方法，討論了Runge-K

2、utta方法的穩(wěn)定性，并給出了解析解的穩(wěn)定區(qū)域包含在數(shù)值解的穩(wěn)定區(qū)域內(nèi)的條件。
　　利用Razumikhin技巧討論了比例方程解析解的漸近穩(wěn)定性和定步長(zhǎng)方法的數(shù)值解的漸近穩(wěn)定性。特別地，考慮了線性常系數(shù)和線性變系數(shù)比例方程，得到了這些方程解析解的穩(wěn)定條件和定步長(zhǎng)θ-方法的數(shù)值解的穩(wěn)定條件，并證明了Jackiewicz的猜想的充分性。
　　構(gòu)造了改進(jìn)Runge-Kutta方法，并證明了改進(jìn)的方法可以保持原方法的收斂階。給出了改

3、進(jìn)Runge-Kutta方法對(duì)于比例試驗(yàn)方程是漸近穩(wěn)定的充分必要條件。特別地，改進(jìn)了θ-方法、Gauss-Legendre方法和Lobatto IIIA、IIIB方法應(yīng)用于比例試驗(yàn)方程的漸近穩(wěn)定性。
　　考慮了單種群模型的指數(shù)型Runge-Kutta方法的全局穩(wěn)定性，并證明了該方法保持原方法的收斂階。給出了解析解不變集是數(shù)值解的正不變集的條件。證明了隱式Euler方法和2-級(jí)、2階Af(0)-穩(wěn)定的方法是全局漸近穩(wěn)定的，并且這些方

4、法的數(shù)值解單調(diào)趨于穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。討論了一些Runge-Kutta方法應(yīng)用于帶有延遲項(xiàng)的單種群模型的全局漸近穩(wěn)定性。最后，利用Newton方法給出了隱式Runge-Kutta方法的解。
　　討論了Lawson數(shù)值方法應(yīng)用于一類(lèi)延遲微分方程的振動(dòng)性。給出了非線性延遲微分方程Lawson數(shù)值方法，并證明了這些方法的收斂階。分別給出了Lawson數(shù)值方法保持和判定線性延遲微分方程和一類(lèi)特殊的非線性延遲微分方程解析解振動(dòng)性的條件。討論了La