1、芬斯勒(Finsler)幾何是其度量沒有二次型限制的黎曼幾何，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要前沿學(xué)科。這種度量是德國數(shù)學(xué)家黎曼在其著名的就職演講“論作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)”(1854年)中提出的。自上世紀(jì)90年代以來，在幾何大師陳省身先生的倡導(dǎo)下，芬斯勒幾何獲得突飛猛進的發(fā)展。
　　 在上世紀(jì)初的巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上，數(shù)學(xué)大師希爾伯特(Hilbert)提出的23個著名數(shù)學(xué)問題中有兩個和芬斯勒幾何學(xué)密切相關(guān)。其中，希爾伯特第4問題是尋找和刻畫n

2、維歐氏空間的開集上的射影平坦芬斯勒度量。所以，尋找和研究射影平坦的芬斯勒度量及其幾何性質(zhì)是當(dāng)前重要的研究課題。
　　 （α,β)-度量是一類與黎曼度量密切相關(guān)的有著豐富幾何性質(zhì)的重要芬斯勒度量，著名的Randers度量是其重要特例。沈忠民研究并給出了Randers度量局部射影平坦的充要條件，即黎曼度量α是局部射影平坦的且1-形式β為閉的；莫小歡，楊春紅以及沈一兵，趙俐俐分別研究了具有不同多項式形式的局部射影平坦的(α,β)-度量

3、；而於耀勇研究了指數(shù)形式與反正切形式的(α,β)-度量局部射影平坦的條件及性質(zhì)。
　　 本文致力于研究一類特殊的(α,β)-度量正弦芬斯勒度量，重點討論了其局部射影平坦的充要條件以及它的旗曲率，S-曲率，Wely-曲率等幾何性質(zhì)．
　　 第二章介紹相關(guān)的基礎(chǔ)知識，第三章是我們研究的主要內(nèi)容．主要結(jié)果如下：
　　 定理3.3.1
　　 設(shè)F=α+αsinβ/α是光滑流形M上的一個芬斯勒度量，這里α是M上的黎

4、曼度量，β是M上的1-形式。則F是局部射影平坦的充分必要條件為：
　　 （1)α是局部射影平坦的，
　　 （2)β關(guān)于α是平行的。
　　 定理3.3.2
　　 n維光滑流形M上的局部射影平坦的正弦芬斯勒度量F=α+αsinβ/α，若其旗曲率為常數(shù)λ，則λ必為0．
　　 定理3.3.3
　　 n維流形M上的一個局部射影平坦的正弦芬斯勒度量F=α+αsinβ/α具有下列性質(zhì)：
　　 （