1、本文分為三個部分,分別對應于三章.第一章,我們研究了復Finsler流形到Hermite流形之間的調(diào)和映射.通過計算-6-能量的第一和第二變分公式,我們得到了一些存在性定理和同倫不變定理.在第二章中,我們給出了Finsler流形全測地映射的能量密度的上界估計,由此可以推得Finsler流形到黎曼流形間的廣義Schwarz引理.第三章,我們討論了Asanov度量為局部射影平坦的充分必要條件以及為Douglas度量的充分必要條件。

2、正如著名的國際幾何學大師陳省身先生所說,Finsler度量是不受二次型限制的黎曼度量[13].早在1854年黎曼在就職演說中就已提到這種情形.Finsler幾何就是研究具有Finsler度量的流形幾何性質(zhì)的學科.近年來,Finsler幾何重新得到了重視和發(fā)展[11][44][45].伴隨著基礎理論的發(fā)展,Finsler幾何被廣泛應用于生物學、物理學、控制論、心理學等方面[1][3][4][8].至此Finsler幾何已經(jīng)成為微分幾何一個

3、重要的分支。 ·復Finsler流形的調(diào)和映照復幾何是微分幾何研究中的一個重要組成部分,隨著量子物理的發(fā)展,人們對復結構的研究也越來越感興趣.類似實Finsler度量的定義,G.Rizza[41]引入了復Finsler度量的定義.近年來,復Finsler度量的研究不斷地受到重視和發(fā)展[1][5][6][12]。 在文[26]中,Kobayashi指出了至少有兩個很好的理由來研究復Finsler結構。-是每一個雙曲復流形都

4、容有一個自然的復Finsler度量；二是可以作為微分幾何的一個工具來研究復向量叢,因為Kobayashi在文[27]中證明了緊復流形上的全純向量叢E是負的,即其對偶叢E*是正的,當且僅當E上容有一個負曲率的強偽凸的Finsler度量.自此之后,復Finsler度量在復幾何的各個領域有了許多的應用。 調(diào)和映射是微分幾何和數(shù)學物理的研究中一個重要而有趣的內(nèi)容.文獻[35]提出了Finsler幾何的某些未解決的問題,其中之一就是研究F

5、insler流形間的調(diào)和映射.通過利用射影球叢上誘導的體積元,沈一兵教授和莫小歡教授等對實Finsler流形的調(diào)和映射進行了許多研究[22][23][33][34][42]。 復Finsler流形上的調(diào)和映射同樣是一個有趣的問題.Nishikawa[38]通過考慮-6-能量研究了從緊致黎曼面到復Finsler流形的調(diào)和映射.當目標流形是復Finsler流形時,能量密度函數(shù)的定義會出現(xiàn)嚴重的奇性,因此我們僅討論從復Finsler流

6、形到Hermite流形,特別是到Kahler流形的光滑映射。 令(M,G)是一個具有強偽凸Finsler度量G的m維復Finsler流形,(N,H)是-n維Hermite流形.φ:M→N是從M到N的光滑映射。 調(diào)和映射自然地定義為能量泛函第一變分的臨界點.注意到Vo(z)是M上的任意變分場,Qα(z,υ)是PM上的函數(shù).為了給出調(diào)和映射的定義,令定義A.φ是調(diào)和映射當且僅當||Q||≡0.φ是強調(diào)和映射當且僅當Qα=0。

7、 由定義A易知,全純映射(或反全純映射)顯然是(強)調(diào)和映射.強調(diào)和映射顯然是調(diào)和映射。 調(diào)和映射的存在性是調(diào)和映射研究中的一個基本問題.在文[34]中,莫小歡教授等人給出了從實Finsler流形到黎曼流形間調(diào)和映射的存在性定理.另一方面,為了研究Hermite流形-M到黎曼流形-N間的調(diào)和映射,J.Jost和Yau[25]引入了一個非線性橢圓系統(tǒng),在局部坐標下該橢圓系統(tǒng)可表示為其中γα-β是流形-M的Hermite度量

8、,Γijk是流形-N的Christoffel記號,α,β,…=1,…,dimM,i,j,…=1,…,dimN。滿足(1)的映射稱為是Hermite調(diào)和映射.一般而言,除非-M是Kahler流形,否則Hermite調(diào)和映射不一定是調(diào)和映射.在文[25]中,J.Jost和Yau通過研究橢圓系統(tǒng)(1)的解得到了一些存在性定理。 下面假設(M,G)是一緊致的強Kahler Finsler流形,(N,H)是緊致Kahler流形,φ:M→N

9、是從M到N光滑映射.由定義A,φ是一調(diào)和映射當且僅當對任意的變分場V0都有其中1≤A,B,C,…≤2n.容易發(fā)現(xiàn)(1)與(4)是等價的,因此由J.Jost和S.T.Yau[25]的非線性橢圓系統(tǒng)方面的結果,我們得到下面的存在性定理：定理0.3.若(M,G)是一緊致的強Kahler Finsler流形,(N,H)是具有負截面曲率的緊致Kahle流形.假設ψ:M→N是一連續(xù)映射,并且與M到N上閉測地線的映射不同倫,則存在同倫于ψ的調(diào)和映射。

10、定理0.4.若(M,G)是一緊致的強Kahler Finsler流形,(N,H)是具有非正截面曲率的緊致Kahler流形.假設ψ:M→N是一光滑映射并且ε(g*TN)≠0,其中ε是歐拉類,則存在同倫于ψ的調(diào)和映射f。注：我們同樣可以得到類似文[25]中的其它存在性定理。利用射影化切叢PM上的體積測度,我們可以定義映射φ的δ-能量和-δ-能量： 定理0.5.若(M,G)是一緊致的強Kahler Finsler流形,(N,H)是Ka

11、hler流形。則K(φ)在C(M,N)的任一連通分支中是常值,即K(φ)是同倫不變量.其中C(M,N)是從M到的所有光滑映射組成的空間。注：當(M,G)是通常的Kahler流形時,這就是著名的Lichnerowicz定理([31])。由定理0.5,可以得到下面的推論：推論0.6.E'-,E''-和E-的臨界點相同,進而,在一個給定的同倫類中E'-,E''-和E-具有相同的極小值。推論0.7.設φ0和φ1是從緊致強Kahler Finsl

12、er流形到-Kahler流形的同倫映射,若φ0是全純的并且φ1是反全純的,則φ0和φ1都是常值映射.特別地,任意同倫平凡的全純(反全純)映射是常值映射。最后,利用映射φ的第二變分公式,我們得到下面的穩(wěn)定性結果：定理0.8.設(M,G)是一緊致的強Kahler Finsler流形,(N,H)是一曲率平坦的Kahler流形.則從(M,G)到(N,H)的任何調(diào)和映射都是穩(wěn)定的。 注：最近,陳濱和沈一兵教授[54]證明了強Kahler

13、Finsler度量和KablerFinsler度量的定義是等價的,因此上面出現(xiàn)的強Kahler Finsler流形都可以改為Kahler Finsler流形。 ·實Finsler流形間能量密度的上界估計在第二章中,我們給出了實Finsler流形間全測地映射能量密度的一個上界估計.利用該上界估計,可以推得Finsler流形到黎曼流形間的廣義Schwarz引理。 設(M,F)和(M,F)分別是n維和m維的實Finsler流形

14、.φ：(M,F)→(M,F)是非退化光滑映射.設{xi,yi}為TM上的局部坐標,(x,|y|)為射影球叢SM中的點,其中[y]={λy,λ>0}表示從原點出發(fā)沿y方向的射線。 令TM=TM\{0},則標準投影映射π:TM→M誘導了射影化余切叢π*T*M→SM,其上存在一整體截面ω:=6F/6yidxi,稱為Hilbert形式.它的對偶向量場是l=yi/F6/6x=li6/6xi,可看作π*TM上的整體截面.{ei)為拉回叢π*