1、Finsler幾何就是度量沒有二次型限制的黎曼幾何．著名數(shù)學家黎曼(B.Riemann)在1854年所作的具有歷史意義的就職演說中已考慮了這種情況，但鑒于沒有二次型限制后計算上過于復雜，他將研究限于二次型度量的幾何，也就是現(xiàn)在熟知的黎曼幾何，直到1918年，P.Finsler的博士論文才研究了一般度量的曲線和曲面.因此，F(xiàn)insler幾何確切地應稱為黎曼-Finsler幾何，為方便起見，我們稱其為Finsler幾何，
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2、00年，D.Hilbert在巴黎數(shù)學家大會上提出的23個問題中第4和第23問題直接與Finsler幾何有關．此后，在數(shù)學家E.Cartan、S.S.Chern(陳省身)、L.Berwald、J.Douglas等人的努力下，F(xiàn)insler幾何的內(nèi)容日益豐富．
　　 20世紀90年代以后，在陳省身先生的大力倡導下，在鮑大衛(wèi)(D.Bao)，沈忠民(Z.Shen)等人的努力下，F(xiàn)insler幾何的研究取得了許多突破性的進展．黎曼幾何中的

3、許多重要的整體性結(jié)果被推廣到Finsler幾何上，這不僅僅是更普適的結(jié)果，同時也給我們提供了一種更好的幾何認知．重要的結(jié)果有：測地線理論([BCS])，比較定理([BCS，Sh1，Sh2，XY])，調(diào)和映射([HS，MY，SY])，Gauss-Bonnet定理([BC])等．
　　 本文主要運用M.Gromov的方法，利用拓撲、代數(shù)等工具研究Finsler流形的曲率與拓撲．主要內(nèi)容分為三個部分，分別探討了Finsler流形的Gr