1、調(diào)和映射是幾何分析中一類重要的研究對(duì)象．調(diào)和映射的存在性問題是幾何分析中有意義而又非常困難的問題．研究?jī)蓚€(gè)流形之間的調(diào)和映射的存在性問題是研究調(diào)和映射存在性問題最重要和最有意義的方面之一．一般來講，它分為兩大類：一類是有限維黎曼流形之間的調(diào)和映射存在性；另一類是無限維流形之間的調(diào)和映射存在性．而對(duì)于有限維黎曼流形之間的調(diào)和映射存在性，我們又分為兩種情況：一種是無邊流形；另一種是帶邊流形．對(duì)于帶邊流形，如果我們根據(jù)調(diào)和映射的定義，直接運(yùn)用

2、變分的技巧來解決它們之間的調(diào)和映射的存在性是不行的．這種方法只能對(duì)一些特殊的流形適用，比如S<'1>[2]．因?yàn)閷?duì)于S<'1>來說，它所對(duì)應(yīng)的調(diào)和映射是閉測(cè)地線．測(cè)地線方程在TN上是一個(gè)線性的常微分方程系統(tǒng)，而對(duì)于一般的調(diào)和映射方程來說，它是一個(gè)非線性的偏微分方程系統(tǒng)．為了解決這個(gè)問題，Eells和Sampson在1964年引進(jìn)了一種稱為熱流的方法[1]．它被認(rèn)為是調(diào)和映射存在性理論中最基本的理論． 本文主要闡述了Eells和S

3、ampson的思想，并根據(jù)自己的理解詳細(xì)解釋了Eells和Sampson在1964對(duì)他們的定理的證明過程．文章要證明的定理如下： 定理4．1．(Eells—Sampson)設(shè)(M，g)和(N，h)是兩個(gè)緊的黎曼流形，假設(shè)(N，h)的截面曲率K<,N>是非正的，則對(duì)任意的f∈C<'∞>(M，N)，都存在一個(gè)調(diào)和映射μ<,∞>：M→N，使得f能連續(xù)形變到μ<,∞>． 文章主要分為兩部分：第一部分，文章根據(jù)調(diào)和映射的定義推導(dǎo)出

4、調(diào)和映射的方程，并列舉了兩個(gè)特殊流形之間的調(diào)和映射；第二部分，文章首先根據(jù)前面的兩個(gè)例子提出了兩個(gè)帶邊流形之間的調(diào)和映射的存在性問題，接著著重闡述了Eells和Sampson的思想——熱流法，即將調(diào)和映射的存在性問題轉(zhuǎn)化成一個(gè)非線性拋物微分方程系統(tǒng)的初值問題，并從解的存在性和收斂性兩個(gè)方面來證明該初值問題，然后，文章在假設(shè)解的存在性成立的條件下，利用WeitenbOck公式證明在證明存在性時(shí)，文章又分為兩部分： 第一部分證明局部

5、解的存在性：文章根據(jù)Nash嵌入定理[7]，將研究一個(gè)拋物型微分方程系統(tǒng)的初值問題轉(zhuǎn)化成向量值函數(shù)的初值問題．接著，運(yùn)用Banach空間的逆函數(shù)定理證明了向量值函數(shù)的初值問題，從而證明了局部解的存在性． 第二部分證明整體解的存在性：文章在假設(shè)K<,N>≤0的情況下，運(yùn)用Wreitzenbock公式，得到了關(guān)于調(diào)和映射方程的初值解u的估計(jì)，并運(yùn)用線性拋物型偏微分方程的解的Schauder估計(jì)[6]，得到u的一致估計(jì)，從而證明整體解