1、本文主要研究了復(fù)射影空間中緊致連通子流形的整體pinching問題和逐點pinching問題.在本文第一章中運(yùn)用Hopf纖維化方法研討了復(fù)射影空間中極小子流形的整體pinching問題，得到了： 定理A.設(shè)CPn+p(4)為具有全純截面曲率4的復(fù)射影空間，ψ：M2n→CPn+p(4)為CPn+p(4)中實2n維緊致極小子流形，R為M的數(shù)量曲率.如果∫M[4n(n+1)-R]2dVM≤C(n),其中C(n)是僅和n有關(guān)的正常數(shù)，那

2、么M為全測地子流形CPn. 文中還討論了四元數(shù)射影空間中的緊致極小子流形的整體pinching問題，給出了上述結(jié)果的一個推廣. 對于復(fù)射影空間中一般的閉子流形，本文運(yùn)用Hopf纖維化方法證明了下述：定理B.設(shè)CPn+p(4)為具有全純截面曲率4的復(fù)射影空間，ψ：M→CPn+p(4)為CPn+p(4)中實2n維的緊致黎曼子流形，則存在僅與n有關(guān)的正常數(shù)D(n)使得∫M[4n(n+1)+2n(2n+1)H2-R]2n+1/2

3、dVM≥1/2πD(n)(n-1∑i=1~βi),其中~βi為M的提升M的第i個Betti數(shù)，H為M的平均曲率. 關(guān)于復(fù)射影空間中Kaehler子流形的逐點pinching問題的研究具有十分悠久的歷史.設(shè)CPn+p為具有常全純截面曲率1的n+p維復(fù)射影空間，Mn為CPn+p中的n維完備Kaehler子流形，K.Ogiue[10]在七十年代曾提出過四個著名猜想.其中的第一和第三個猜想已獲解決. 本文在第二章中研討了CPn+

4、p中具平坦法叢的Kaehler子流形的一個剛性問題，獲得下述結(jié)果： 定理C.設(shè)Mn(n＞4)為CPn+p中具平坦法叢的n維緊致Kaehler子流形，若M的截曲率K＞0，則Mn為全測地子流形CPn. 定理C.推進(jìn)了K.Ogiue猜想的研究. 當(dāng)M的全純截曲率和數(shù)量曲率滿足一定條件時，本文獲得了下述結(jié)果：定理D.設(shè)Mn為浸入到CPn+1中的完備Kaehler超曲面，如果H≥δ＞(1-n)/2，ρ＞n2-4δ+2，那么