1、子流形高斯像的幾何與拓?fù)涫钦w微分幾何領(lǐng)域的重要研究課題之一.本文著重研究常曲率空間形式中完備子流形高斯像體積的幾何與拓?fù)湫再|(zhì).獲得了子流形高斯像體積的計(jì)算公式及其上、下界估計(jì)，并證明了高斯像體積pinching條件下的拓?fù)淝蛎娑ɡ? 1968年，陳省身證明了歐氏空間R2+p中完備可定向極小曲面高斯像的面積等于該極小曲面的總曲率乘以-1.1986年，陳志華將這一定理推廣到球面S2+p和雙曲空間H2+p中完備可定向極小曲面的情形.

2、在此基礎(chǔ)上，1990年，李海中和許洪偉獨(dú)立地給出了常曲率空間形式中完備可定向曲面高斯像的面積計(jì)算公式.1981年，M.Gromov證明了任一n維緊致黎曼流形M的全Betti數(shù)∑ni=0βi≤C(n，k)，其中C(n，k)為僅與n，k有關(guān)的正常數(shù)，k=infKM. 本文第一部分首先研究了歐氏空間Rn+p中n維完備可定向子流形的高斯像的幾何與拓?fù)湫再|(zhì)，給出了高斯像體積的計(jì)算公式、高斯像體積的幾何上界和拓?fù)湎陆?，證明了高斯像體積pin

3、ching條件下的拓?fù)淝蛎娑ɡ?確切地說，獲得了下述結(jié)果：設(shè)ψ：M→Rn+p是n維完備可定向黎曼流形M到Rn+p的等距浸入，g(M)為M的高斯像.則(i)V(g(M))≤n-n/2∫MSn/2dM；(ii)如果M是緊致的，那么V(g(M))≥ω-1p-1∫Sn+p-1\E∑i=0Ci(ψz)dz≥C(n,p)n∑i=0βi 特別地，當(dāng)V(g(M))＜3C(n，p)時(shí)，M必同胚于n維球面Sn(1).這里ψz是z方向上的高度函數(shù)，E

4、是Sn+p-1中的零測(cè)集，Ci(ψz)是Morse函數(shù)ψz的指數(shù)為i的臨界點(diǎn)的個(gè)數(shù)，βi是M的關(guān)于任一固定系數(shù)域的第i個(gè)Betti數(shù)，C(n，p)=ωn+p-1/ωp-1，ωm是m維單位球面Sm(1)的體積. 球面中子流形具有兩類不同的高斯映射.本文第二部分研究了球面中完備子流形的第一類高斯像的幾何與拓?fù)湫再|(zhì)，獲得了第一類高斯像體積的計(jì)算公式，并將第一部分中的主要結(jié)果作了如下推廣： 設(shè)ψ：M→Sn+p是n維完備可定向黎曼

5、流形M到Sn+p的等距浸入，g(M)為M的第一類高斯像.則(i)∫M√1+SdM≤V(g(M))≤∫M(1+S/n)n/2dM，當(dāng)且僅當(dāng)M是全測(cè)地時(shí)等號(hào)成立；(ii)如果M是緊致的，那么V(g(M)≥ω-1p∫Sn+p\En∑i=0Ci((Iοψ)z)dz≥C1(n,p)n∑i=0βi.特別地，當(dāng)V(g(M))＜3C1(n，p)時(shí)，M必同胚于n維球面Sn(1).這里(Iοψ)z是等距浸入Iοψ：M→Rn+p+1在z方向上的高度函數(shù)，I：

6、Sn+p→Rn+p+1是標(biāo)準(zhǔn)等距嵌入，E是Sn+p中的零測(cè)集，Ci((Iοψ)z)是Morse函數(shù)(Iοψ)z的指數(shù)為i的臨界點(diǎn)的個(gè)數(shù)，βi是M的關(guān)于任一固定系數(shù)域的第i個(gè)Betti數(shù)，C1(n，p)=ωn+p/ωp，ωm是m維單位球面Sm(1)的體積. 本文第三部分研究了球面中完備子流形的第二類高斯像的幾何與拓?fù)湫再|(zhì)，將前兩部分的主要結(jié)果作了相應(yīng)推廣. 設(shè)ψ：M→Sn+p是n維緊致可定向黎曼流形M到Sn+p的等距浸入，

7、g(M)為M的第二類高斯像，則V(g(M))≥ω-1p∫Sn+p\En∑i=0Ci(Iοψ)z)dz≥C1(n,p)n∑i=0βi,特別地，當(dāng)V(g(M))＜3C1(n，p)時(shí)，M必同胚于n維球面Sn(1).這里(Iοψ)z是等距浸入Iοψ：M→Rn+p+1在z方向上的高度函數(shù)，I：Sn+p→Rn+p+1是標(biāo)準(zhǔn)等距嵌入，E是Sn+p中的零測(cè)集，ci((Iοψ)z)是Morse函數(shù)(Iοψ)z的指數(shù)為i的臨界點(diǎn)的個(gè)數(shù)，βi是M的關(guān)于任一固