關(guān)于不適定問題的迭代Tikhonov正則化方法.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、不適定問題的來源相當廣泛,包括病態(tài)線性方程,物性探測,掃描成像,逆時反演等多個領(lǐng)域,特別是許多反問題是不適定的.本文介紹了不適定問題正則化的一般理論,重點討論了求解不適定問題Kx=y(0.0.1)的迭代Tikhonov正則化方法及其擾動方程
   這里K是無窮維Hilbert空間X到Y(jié)的線性緊算子,文中將參數(shù)α取為固定常數(shù)(α>0),這時迭代次數(shù)m起到正則化參數(shù)的作用.在實際中,這種方法比將α看作正則化參數(shù)更容易計算.文章推導(dǎo)出

2、正則濾波函數(shù)的性質(zhì),給出正則化參數(shù)m的先驗估計r≥0.應(yīng)用停止準則給出后驗估計,證明了誤差估計的收斂階達到最優(yōu).數(shù)值例子分別驗證了先驗估計和后驗估計的理論結(jié)果,由數(shù)值結(jié)果可以看出,這種以m為正則化參數(shù)的迭代Tikhonov方法的誤差精度遠遠高于一般Tikhonov方法和Landweber迭代方法.文章主要結(jié)論如下:
   定理1由方程(0.0.2)得到的濾波函數(shù)是正則濾波函數(shù).定義有界線性算子Ram:Y→X是正則化策略
 

3、  定理2(先驗估計)K:X→Y線性緊算子.
   (ⅰ)由(0.0.4)定義的有界限性算子Ram:Y→X是正則化策略,并且由擾動方程(0.0.3)迭代產(chǎn)生,每一個m(α,δ)→∞(δ→0)且δ2m(α,δ)→0是容許的.
   (ⅱ)如果x=(K*K)rz∈(K*K)r(X),‖z‖≤E,0<c1<c2,?。畡t對每一個m(α,δ)滿足,都有如下估計式其中c>0是依賴于c1,c2,r的常數(shù).
   定理3 K:

4、X→Y是一對一的線性緊算子.令r>1且yδ∈Y,滿足‖y-yδ‖≤δ,‖yδ‖≥rδ.序列由迭代方程(0.0.3)產(chǎn)生,其中m=0,1,2,….則有以下結(jié)論:
   (i)即存在最小整數(shù)m=m(δ)∈N0,滿足
   (ⅱ)δ2m(δ)→0,δ→0.即m(δ)的選取是容許的,所以收斂到準確解x.
   定理4(后驗估計)滿足定理3中的全部條件,選取α>α0.當x=(K*K)rz∈(K*K)r(X),‖z‖≤E有下

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