1、論文主要利用《數(shù)的幾何》中的理論和方法對阿基米德鋪砌中的一些計數(shù)問題進(jìn)行了研究.
　　第一章研究了圓內(nèi)阿基米德鋪砌頂點(diǎn)數(shù)問題.在每一種阿基米德鋪砌中，以鋪砌的任意頂點(diǎn)為圓心、以r=√n（n∈Z+）為半徑的圓C（n）的內(nèi)部和邊界上所含鋪砌頂點(diǎn)的個數(shù)記為N（n），通過引入中心多邊形的概念，得到圓內(nèi)阿基米德鋪砌頂點(diǎn)數(shù)的統(tǒng)一公式:limn→ N(n)/n=π/S，其中S為對應(yīng)鋪砌的中心多邊形的面積.
　　第二章首先研究了(3.3.4

2、.3.4)鋪砌的Pick-型定理，證明了平行于鋪砌邊的格線段只有4類，定義了對稱格線段.在(3.3.4.3.4)鋪砌中，若簡單格多邊形P的邊界或者為平行于鋪砌邊的格線段，或者為對稱格線段，或者滿足非對稱條件，則格多邊形P的面積A(P)=1/8[(2+√3)b+（4+2√3）i+(2-√3)c+8√3-24]，其中b，i，c分別為格多邊形P的邊界格點(diǎn)數(shù),內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)和邊界特征.隨后用類似的方法研究了其它阿基米德雙鋪砌和三鋪砌的Pick-型定

3、理，并且得到一個關(guān)于全部11種阿基米德鋪砌統(tǒng)一的Pick-型公式，即若簡單格多邊形P滿足相應(yīng)的Pick-型定理?xiàng)l件，P的邊界特征等于鋪砌頂點(diǎn)度的2倍且P的鄰接特征e=0，則格多邊形P的面積A(P)=S·（b/2+i-1），其中b和i分別為格多邊形P的邊界格點(diǎn)數(shù)和內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)，S為對應(yīng)鋪砌的中心多邊形的面積.
　　第三章首次研究了非阿基米德鋪砌(3.3.6.6;3.6.3.6)的Pick-型定理,得到其Pick-型公式為A(P)=√3