1、<p><b>　　雙曲線性質的推廣</b></p><p>　　數(shù)學與信息科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學</p><p>　　摘 要：雙曲面是由雙曲線繞實軸或虛軸旋轉后再進行伸縮變換而得到的曲面，從雙曲線變到雙曲面后，雙曲線的許多性質也可以繼續(xù)得到推廣，本文將重點討論雙曲線的性質在雙曲面中的推廣及其應用 .</p><p>　　關鍵

2、詞：雙曲線 雙曲面 性質 推廣</p><p>　　Some characters extension from hyperbola to hyperboloid</p><p>　　Abstract：The hyperboloid can be got from hyperbola when we stretch hyperbola around its real axis or ima

3、ginary axis .The characters of hyperboloid is similar to hyperbola , so some of them are extended from hyperbola .In this paper, we mainly discuss those extension </p><p>　　Key words：Hyperbola Hyperboloid

4、 Character extension</p><p><b>　　前言</b></p><p>　　雙曲線與雙曲面在實際生活中的應用是非常廣泛的，目前，人們對雙曲線與雙曲面的性質都有很多的發(fā)現(xiàn)，而雙曲面的許多性質是由雙曲線推廣得到的，在科學技術日新月異的今天，也促使我們對雙曲線的性質有進一步的探索、推廣，研究雙曲線已有的性質以及雙曲面的生成過程，找到雙曲線與雙

5、曲面之間的聯(lián)系，并在此基礎上進一步挖掘，使雙曲面的性質更加完善，有更廣泛的應用價值.本論文就是基于以上分析而寫的.</p><p><b>　　1.定義及圖形</b></p><p>　　定義1.1 我們把平面內與兩個定點F、F 的距離差的絕對值等于常數(shù)（小于| FF|）的點的軌跡叫雙曲線.</p><p>　　雙曲線的標準方程（以軸為實軸）

6、為：－＝１（）.</p><p>　　定義1.2 將雙曲線沿虛軸（軸）旋轉，得到旋轉單葉雙曲面 ，再將圖形向平面伸縮（設比例為），得到新的曲面便是單葉雙曲面.</p><p>　　單葉雙曲面的標準方程是+－＝１，</p><p>　　當時，是旋轉單葉雙曲面－＝１.</p><p>　　定義1.3 將雙曲線沿實軸（軸）旋轉，得到旋轉雙葉雙曲

7、面 ，再將圖形向平面伸縮（設比例為），得到新的曲面便是雙葉雙曲面.</p><p>　　雙葉雙曲面的標準方程是+－＝－１, </p><p>　　當時，是旋轉雙葉雙曲面.</p><p>　　圖1 雙曲線 圖2 單葉雙曲面 圖3 雙葉雙曲面</p><p><b>　　2、性質的推廣

8、</b></p><p>　　2.1 定義的推廣</p><p>　　根據(jù)定義1.1，在三維空間中，首先驗證一下一動點到兩定點的距離之差等于軌跡是否是雙曲面.</p><p>　　解：設動點的坐標為,兩定點的坐標為,根據(jù)題意有等式成立,因而</p><p>　　因,令，則軌跡方程為,它是旋轉雙葉雙曲面.</p>&

9、lt;p>　　由此可見，雙曲線的定義從二維推廣到三維后只適合旋轉雙葉雙曲面.</p><p><b>　　2.2 對稱性</b></p><p>　　雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心，由單葉雙曲面和雙葉雙曲面的圖形和方程都可以得出他們表示的曲面關于三個坐標平面，三個坐標軸及坐

10、標原點都是對稱的，因此原點是他們的對稱中心，坐標軸是他們的對稱軸，坐標平面是他們的對稱平面.因此，對稱性推廣到三維后仍然適用.</p><p><b>　　2.3 頂點</b></p><p>　　定義2.3.1 雙曲線(以軸為實軸)的頂點是雙曲線與軸的兩個交點.令得. 即雙曲線有兩個頂點：. </p><p>　　同理，對于單葉雙曲面，只與

11、軸和軸有交點，令得,得到雙曲面與軸的兩個交點.令得，得到單葉雙曲面與軸的兩個交點. 即單葉雙曲面有4個頂點：，. </p><p>　　對于雙葉雙曲面，只與軸有交點，令得,得到雙葉雙曲面與軸的兩個交點.即雙葉雙曲面有兩個頂點：.</p><p><b>　　分布范圍</b></p><p>　　由雙曲線的標準

12、方程可知,,,雙曲線上的點的坐標都適合不等式,所以, 或，說明雙曲線在不等式與所表示的區(qū)域內，由單葉雙曲面方程 知，因此，曲面上的點在橢圓柱面的外部或柱面上．</p><p>　　由雙葉雙曲面方程可知，曲面上的點滿足因此,曲面分成兩葉與，一葉在平面的上方，另一葉在平面　下方．</p><p>　　2.5 從漸近線到漸近面的推廣</p><p>　　定義2.5.1

13、 雙曲線的漸近線是,也就是雙曲線的各支向外延伸時,與這兩條直線逐漸接近.</p><p>　　定理2.5.1 雙曲面的漸近面方程是.</p><p>　　證明：我們將單葉雙曲面整理得 .將雙葉雙曲面的方程整理得 </p><p>　　令 (1)</p><p><b>　　(2)</b><

14、;/p><p>　　設是單葉雙曲面或單葉雙曲面的漸近方向,則要滿足條件</p><p>　　又設直線 (3) ,則直線(3)與曲面(1),(2)或者只有一個交點,或者沒有交點,或者整條直線在曲面上,所以過點且以漸近方向為方向的一切直線上的點的軌跡是曲面</p><p><b>　　即,</b></p><p>　　

15、這是一個關于的二次齊次方程,所以它是一個以 為頂點的錐面,錐面上的每一條母線的方向都是二次曲面的漸近方向,而雙曲線的漸近線過坐標原點,由圖形可知,雙曲面的漸近面的頂點應為,錐面方程即為: ,整理得: </p><p>　　得到該二次錐面,我們再從另一方面來考慮他們之間的關系,用平面去截這三個平面,交線方程分別是 </p><p><b>　　和</b></p&

16、gt;<p>　　圖4 雙曲面及其漸近錐面 </p><p>　　由此可見,它們的截面都是橢圓,而且這三個橢圓具有相同的中心和對稱軸,</p><p>　　并且橢圓的半軸分別為</p><p><b>　　和 </b></p><p>　　這些半軸滿足下列關系: ,，</p>&l

17、t;p><b>　　而且</b></p><p>　　由此可見，當無限增大是，三個曲面無限接近.</p><p>　　因此，我們稱二次錐面為單葉雙曲面和雙葉雙曲面的漸近錐面.</p><p>　　和雙曲線有漸近線相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面有共同的漸近錐面.</p><p><b>　　從準線到準面的推廣

18、</b></p><p>　　定義2.6.1到定點的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)的點的軌跡是雙曲線，這也是雙曲線的第二定義.其中定直線叫做雙曲線的準線,根據(jù)雙曲線的對稱性,相應于焦點的準線方程，所以雙曲線有兩條準線.</p><p>　　定義2.6.2 如果到一定點和一個定平面（定點不在定平面上）的距離之比等于一個常數(shù)的軌跡是雙曲面，那么這個定平面叫做準面.</p>

19、;<p>　　首先，建立坐標系，取定平面為平面，定點向定平面所做垂線為軸，垂足為原點，則定點坐標可設為，又設比值為，則有 ,即</p><p>　　討論：當時，方程的化為，它是旋轉拋物面</p><p><b>　　當時，方程可化為</b></p><p>　　當時，它表示旋轉橢球面</p><p>　　當

20、時，它表示旋轉雙葉雙曲面</p><p>　　從以上結論可以看出，到一定點和一個定平面的距離之比等于常數(shù)的點的軌跡不是雙曲面，因此雙曲面沒有準面，但是我們可以說旋轉雙葉雙曲面有準面，即面，此時.也和雙曲線的離心率相一致，此時我們將常數(shù)看作該旋轉雙葉雙曲面的離心率，同樣把它記做.</p><p>　　2.7從直徑到徑面的推廣</p><p>　　定義2.7.1 二次

21、曲線的平行弦中點軌跡是一條直線，這條直線叫做這個二次曲線的直徑。它所對應的平行弦叫做共軛于這條直徑的共軛弦。</p><p>　　定義2.7.2 二次曲線的直徑方程為 (其中為二次曲線的一個非漸近方向).</p><p>　　命題2.7.1 雙曲線的直徑方程是</p><p>　　證明：令 </p><p>　　

22、根據(jù)二次曲線的直徑方程，雙曲線共軛于非漸近方向的直徑方程是,顯然，直徑通過曲線的中心.</p><p>　　象雙曲線的直徑一樣，我們先來討論雙曲面的一族平行弦的中點軌跡，首先還得從二次曲面的平行弦的中點軌跡著手.</p><p>　　定義2.7.3 二次曲面一族平行弦的中點軌跡是一個平面,二次曲面的平行弦的中點軌跡叫做共軛平行弦的徑面.</p><p>　　定義2.

23、7.4 設是二次曲面的任意一個非漸近方向,平行弦中點的軌跡方程為: . </p><p>　　命題2.7.2 雙曲面的徑面方程是.</p><p>　　證明：因為 ，所以雙曲面是中心曲面,它沒有奇向，任取方向，那么,</p><p>　　,,所以雙曲面共軛于方向的徑面為，顯然它通過曲面的中心.這也和雙曲線的直徑相仿，雙曲面有徑面，并且通過雙曲面的中心.</p

24、><p>　　綜上所述，雙曲線的很多性質都可以推廣到雙曲面中來.當然這還不完整，其它方面的推廣就有待于我們的進一步研究討論.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]呂林根,許子道. 解析幾何[M]. 高等教育出版社.</p><p>　　[2]李養(yǎng)成,郭瑞芝. 空間解析幾何[M]. 科學出版

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